读一下这篇文章告诉我为什么m12 − m21 ∼ A2g and (m11 − m22, m12 +...

这里本质是在把面内 $2\times2$ 张量

$$M=\begin{pmatrix} m_{11}&m_{12}\\ m_{21}&m_{22} \end{pmatrix}$$

按 $D_{3d}$ 点群的不可约表示分解。$D_{3d}$ 的特征标表里，$A_{2g}$ 的典型基函数是轴矢量 $R_z$，而 $E_g$ 的典型二次基函数包括 $(x^2-y^2,xy)$。也就是说，面内二阶张量的偶宇称部分会分成 $A_{1g}+A_{2g}+E_g$。(symmetry.constructor.university)

把 $M$ 拆成三块：

$$M= \frac{m_{11}+m_{22}}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + \frac{m_{12}-m_{21}}{2} \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{m_{11}-m_{22}}{2}&\frac{m_{12}+m_{21}}{2}\\ \frac{m_{12}+m_{21}}{2}&-\frac{m_{11}-m_{22}}{2} \end{pmatrix}.$$

三项分别是：

1. trace 标量

   $$m_{11}+m_{22}\sim x^2+y^2\sim A_{1g}.$$

2. 反对称部分

   $$m_{12}-m_{21}$$

   对应矩阵

   $$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},$$

   也就是面内反对称张量，等价于绕 $z$ 轴的轴矢量 $R_z$。在 $D_{3d}$ 表中 $R_z\sim A_{2g}$，所以

   $$m_{12}-m_{21}\sim A_{2g}.$$

3. 对称无迹部分

   $$(m_{11}-m_{22},\;m_{12}+m_{21})$$

   对应

   $$(x^2-y^2,\;2xy).$$

   这两个量在三重旋转 $C_3$ 下会彼此线性混合，而不是各自单独不变；它们正好组成一个二维表示。$D_{3d}$ 的特征标表中 $(x^2-y^2,xy)\sim E_g$，所以

   $$(m_{11}-m_{22},\;m_{12}+m_{21})\sim E_g.$$

更直观地说：

$$m_{12}-m_{21}$$

是“旋转型”的反对称量，像 $R_z$，所以是 $A_{2g}$；而

$$m_{11}-m_{22},\quad m_{12}+m_{21}$$

是“椭圆形/四极矩型”的面内各向异性，像 $(x^2-y^2,2xy)$，两者在 $C_3$ 操作下互相变换，所以共同构成 $E_g$。