реши оба этих номера подробно с объяснением что зд...

Ниже решаю оба номера и поясняю смысл каждого шага.

---

1) Парето-эффективность + «свёртка Гермейера»

1.1. Определение (минимизация векторного критерия)

Задача:

$$Q(z)=(Q_1(z),\dots,Q_m(z))\to \min,\quad z\in D\subset\mathbb R^N.$$

Говорят, что $z^*\in D$ эффективен (Парето-оптимален), если не существует такого $z\in D$, что

$$Q_i(z)\le Q_i(z^*)\ \forall i=1,\dots,m \quad\text{и хотя бы для одного }j:\ Q_j(z)<Q_j(z^*).$$

То есть нельзя найти другой допустимый $z$, который не хуже по всем критериям и строго лучше хотя бы по одному.

Это же формулируют через доминирование:

• $z$ доминирует $z^*$, если $Q(z)\le Q(z^*)$ покомпонентно и $Q(z)\neq Q(z^*)$.
• Тогда $z^*$ эффективно ⇔ никто его не доминирует.

1.2. «Несравнимые» значения

Две точки $a=(a_1,a_2)$ и $b=(b_1,b_2)$ (для 2 критериев) несравнимы, если:

• по одному критерию $a$ лучше, а по другому хуже: например $a_1<b_1$, но $a_2>b_2$. Тогда ни одна не доминирует другую.

1.3. Дано множество образов $Q(D)$

Точки (в пространстве критериев $(Q_1,Q_2)$, и мы минимизируем оба):

$$A=(1,5),\quad B=(3,4),\quad C=(4,1),\quad D=(5,1).$$

Парето-множество (эффективные точки) находим проверкой доминирования:

• $D=(5,1)$ доминируется точкой $C=(4,1)$, потому что
  $4\le 5$ и $1\le 1$, причём строго лучше по $Q_1$.
  Значит $D$ неэффективна.

• $A=(1,5)$ никем не доминируется (у всех остальных либо $Q_1$ больше, либо $Q_2$ меньше — но не оба сразу).

• $B=(3,4)$ тоже никем не доминируется:
  $A$ лучше по $Q_1$, но хуже по $Q_2$;
  $C$ хуже по $Q_1$, но лучше по $Q_2$.

• $C=(4,1)$ никем не доминируется.

Итого:

$$Q_P=\{(1,5),(3,4),(4,1)\}.$$

Пример несравнимых пар:
$(1,5)$ и $(4,1)$ (первая лучше по $Q_1$, вторая лучше по $Q_2$);
$(3,4)$ и $(4,1)$ — тоже несравнимы.

---

1.4. Свёртка Гермейера и какие веса дают решение $(3,4)$

Обычно «свёртка Гермейера» (в учебных курсах по многокрит. оптимизации) — это минимизация максимума взвешенных критериев:

$$\Phi_\lambda(z)=\max_{i=1,\dots,m}\ \lambda_i Q_i(z),\quad \lambda_i>0,\ \sum_{i=1}^m\lambda_i=1.$$

Для двух критериев удобно:

$$\lambda_1=\lambda,\quad \lambda_2=1-\lambda,\quad 0<\lambda<1,$$ $$\Phi_\lambda(Q_1,Q_2)=\max(\lambda Q_1,\ (1-\lambda)Q_2).$$

Посчитаем $\Phi_\lambda$ для каждой из 4 точек:

• Для $A=(1,5)$:

$$\Phi_A(\lambda)=\max(\lambda,\ 5(1-\lambda)).$$

• Для $B=(3,4)$:

$$\Phi_B(\lambda)=\max(3\lambda,\ 4(1-\lambda)).$$

• Для $C=(4,1)$:

$$\Phi_C(\lambda)=\max(4\lambda,\ 1-\lambda).$$

• Для $D=(5,1)$:

$$\Phi_D(\lambda)=\max(5\lambda,\ 1-\lambda).$$

Нам нужно, чтобы точка $B=(3,4)$ давала минимум среди всех четырёх.

Шаг 1: где у $B$ «переключается» максимум?

Решаем $3\lambda = 4(1-\lambda)$:

$$3\lambda=4-4\lambda\Rightarrow 7\lambda=4\Rightarrow \lambda=\frac47.$$

Значит:

• при $\lambda\le \frac47$: $\Phi_B=4(1-\lambda)=4-4\lambda$,
• при $\lambda\ge \frac47$: $\Phi_B=3\lambda$.

Шаг 2: сравним $B$ с $C$

В зоне $\lambda\ge \frac15$ у $C$ обычно доминирует $4\lambda$ (потому что $4\lambda\ge 1-\lambda$ при $\lambda\ge 0.2$). Нас интересуют веса, где $B$ может стать лучшим — это примерно середина, так что берём сравнение $B$ с $C$:

Для $\lambda\le \frac47$:

$$\Phi_B=4-4\lambda,\quad \Phi_C=4\lambda.$$

Требуем $\Phi_B\le \Phi_C$:

$$4-4\lambda\le 4\lambda \Rightarrow 4\le 8\lambda \Rightarrow \lambda\ge \frac12.$$

Значит, чтобы $B$ не проигрывал $C$, нужно $\lambda\ge \tfrac12$.

Шаг 3: сравним $B$ с $A$

Для достаточно больших $\lambda$ у $A$ становится маленьким $\max(\lambda,5(1-\lambda))$, поэтому именно $A$ «обрежет» сверху допустимый диапазон.

При $\lambda\ge \frac47$: $\Phi_B=3\lambda$.
А у $A$ (до $\lambda=\frac56$) максимум — это $5(1-\lambda)=5-5\lambda$. Сравним:

$$3\lambda \le 5-5\lambda \Rightarrow 8\lambda\le 5 \Rightarrow \lambda\le \frac58.$$

Шаг 4: проверка с $D$

При $\lambda\ge \frac12$: $\Phi_D=\max(5\lambda,1-\lambda)=5\lambda\ge 2.5$,
а у $B$ в этом диапазоне $\Phi_B\le 2$ (при $\lambda=0.5$) и дальше около $1.7\text{–}1.9$, так что $D$ точно не конкурент.

Итог по весам

Чтобы метод Гермейера выбрал $B=(3,4)$, нужно:

$$\boxed{\frac12 \le \lambda_1 \le \frac58} \quad\text{(где }\lambda_2=1-\lambda_1\text{).}$$

• При $\lambda_1=\tfrac12$ получается ничья между $B=(3,4)$ и $C=(4,1)$.
• При $\lambda_1=\tfrac58$ получается ничья между $B=(3,4)$ и $A=(1,5)$.
• Если хотите, чтобы решением была строго точка $(3,4)$ без ничьих:

$$\boxed{\frac12 < \lambda_1 < \frac58.}$$

---

2) Производная по направлению (направленная производная)

2.1. Определение

Направленная производная функции $Q:\mathbb R^N\to\mathbb R$ в точке $x^0$ по направлению $v$ (в оптимизации обычно берут $t\to +0$):

$$Q'(x^0;v)=\lim_{t\to+0}\frac{Q(x^0+t v)-Q(x^0)}{t},$$

если предел существует.

2.2. Формула для дифференцируемой функции

Если $Q$ дифференцируема в $x^0$, то

$$Q'(x^0;v)=\langle \nabla Q(x^0),\, v\rangle.$$

(Скалярное произведение градиента и направления.)

---

2.3. Вычислить по определению для

$$Q(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2},\quad x^0=0,\quad v=\left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right).$$

Сначала заметим: $v$ — единичный вектор, потому что

$$\|v\|=\sqrt{\frac12+\frac12}=1.$$

Считаем по определению:

$$Q(0+t v)=\sqrt{(t v_1)^2+(t v_2)^2} =\sqrt{t^2(v_1^2+v_2^2)}=|t|\sqrt{v_1^2+v_2^2}=|t|\cdot \|v\|=|t|.$$

А $Q(0)=0$. Тогда

$$\frac{Q(tv)-Q(0)}{t}=\frac{|t|}{t}.$$

• Если берём стандарт для оптимизации $t\to+0$, то $|t|=t$, и

$$Q'(0;v)=\lim_{t\to+0}\frac{t}{t}=1.$$

Ответ: $\boxed{1}$.

🟦 Важное замечание: если бы требовали двухсторонний предел $t\to 0$, то
$\frac{|t|}{t}\to 1$ при $t\to+0$ и $\to -1$ при $t\to-0$, поэтому двухсторонняя направленная производная в нуле не существует. Это отражает факт, что норма $\|x\|$ не дифференцируема в 0 (градиента в нуле нет), но односторонняя направленная производная существует.

---

Если хочешь, я могу набросать схему-рисунок (как именно точки расположены в плоскости $(Q_1,Q_2)$ и почему доминирование читается “влево-вниз”).