让我们从2D-FFT的角度，一步一步来分析没有补偿的OFDM，对快时间每一个bin进行快时间补偿的O...

下面我按你说的“2D-FFT 之后再取模平方”的视角，把文章里的 FST-AF（快-慢时间 AF）框架先复述清楚，然后把它从“忽略 ICI”的 stop-and-go 近似扩展到“考虑 ICI”的解析框架；最后把三种体制：

1. 未补偿 OFDM（仍按 2D-FFT 做）
2. 对快时间每个 Doppler bin 做快时间补偿的 OFDM（本质上逼近 full-Doppler 匹配）
3. AFDM

的“有效信道矩阵模糊函数（2D-FFT→|·|²）”做一个可直接对比抑制性能的解析表达。

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0) 文章的 FST-AF 框架（它为什么会“忽略 ICI”）

文章在 FST 处理中采用 stop-and-go：同一 fast-time block 内 Doppler 相位不变，因此 Doppler 矩阵近似可分离为

$$\mathbf D_{M(N+N_{CP}),q_0}\approx \mathbf D_{M,q_0}\otimes \mathbf I_{N+N_{CP}},$$

从而 CP 去除后得到近似接收模型

$$\mathbf y \approx \beta_0\big(\mathbf D_{M,q_0}\otimes \mathbf J_{N,k_0}\big)\mathbf x,$$

并定义 FST-AF

$$A_{\rm FST}(k,q)=\mathbf x^H\big(\mathbf D_{M,q}^*\otimes \mathbf J_{N,k}^T\big)\mathbf x .$$

这些正是文章里“stop-and-go / ICI 可忽略”的建模核心。 (2512.08352v1.pdf)

进一步，文章证明 FST-AF 等价于 频率-慢时间域能量图的 2D-DFT（你说的“2D-FFT 后再取模平方”的母式）：把 $\mathbf x$ reshape 成 $\mathbf X$，定义 $\mathbf X_{FT}=\mathbf F_N\mathbf X$，则

$$A_{\rm FST}(k,q)=\sqrt{MN}\, \mathbf f_{N,k+1}^H\,|\mathbf X_{FT}|^2\,\mathbf f_{M,q+1},$$

即“2D-DFT(|X_{FT}|²)”。 (2512.08352v1.pdf)

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1) 把 ICI 放回去：full-Doppler（fast-time 内相位也在转）

stop-and-go 忽略的是：fast-time 内也存在 Doppler 相位斜坡。把它写回去（只写去 CP 后的 $MN$ 有效采样）：

• 单径（delay $k_0$，Doppler“总归一化”索引 $q_0$）的精确离散模型可写成

$$\mathbf y=\beta\,\mathbf D_{MN,q_0}\,\mathbf J_{MN,k_0}\,\mathbf x +\mathbf z.$$

• 将索引拆成 $(n,m)$（$n=0..N-1$ fast-time；$m=0..M-1$ slow-time），则

$$e^{j2\pi \frac{q_0}{MN}(mN+n)} = e^{j2\pi \frac{q_0}{M}m}\cdot e^{j2\pi \frac{q_0}{MN}n}.$$

这说明：slow-time Doppler还是 $\mathbf D_{M,q_0}$，但还多了一个 fast-time Doppler

$$\mathbf D_{N,\varepsilon_0},\quad \varepsilon_0\triangleq \frac{q_0}{M}\ (\text{一般为非整数}).$$

这个 $\mathbf D_{N,\varepsilon_0}$ 在 OFDM 的 fast-time FFT 后就表现为 ICI（循环卷积型）。

直观：ICI 的本质就是 “time-domain 的相位斜坡 ↔ freq-domain 的 Dirichlet 核卷积”。

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2) 用“2D-FFT→|·|²”定义你要比的“有效信道矩阵模糊函数”

实际 OFDM sensing 常见做法是：

1. 对每个 OFDM 符号做 $N$-FFT 得到 $\mathbf Y_{FT}$
2. 用已知发射符号去“去扩频/去调制”（最常见是逐 bin 相乘或相除）
3. 对 $(\text{subcarrier},\text{symbol})$ 做 2D-FFT 得 DD 图，再取 $|\cdot|^2$

文章的 FST-AF 等价于第 3 步对 $|\mathbf X_{FT}|^2$ 的 2D-DFT。 (2512.08352v1.pdf)
但一旦有 ICI，第 2 步“逐 bin 去调制”不再把信道变成逐点相乘，而会生成你说的“有效信道矩阵”——它包含 ICI 的混叠项。

下面我直接给一个可解析、且能一眼看出“抑制性能差异”的统计解析式（跟文章一样用“平均模平方”来刻画随机数据）：文章强调随机数据下必须看统计量。 (2512.08352v1.pdf)

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3) 情况 A：未补偿 OFDM（仍用 2D-FFT），但信道含 ICI ——解析“海平面 + 主峰衰减”

假设每个 $(n,m)$ 上的 QAM/PSK 符号 i.i.d.，均值 0、功率 1、峰度 $\kappa$（文章全篇用的设定）。 (2512.08352v1.pdf)

把 fast-time Doppler 写成 ICI 核：

$$c_\ell(\varepsilon_0)=\frac1N\sum_{r=0}^{N-1}e^{j2\pi(\varepsilon_0-\ell)\frac rN} =\frac{e^{j\pi(1-\frac1N)(\varepsilon_0-\ell)}\sin\big(\pi(\varepsilon_0-\ell)\big)} {N\sin\big(\pi(\varepsilon_0-\ell)/N\big)} .$$

其中最关键的是“同 subcarrier 保留系数”

$$c_0(\varepsilon_0)=\frac1N\sum_{r=0}^{N-1}e^{j2\pi\varepsilon_0\frac rN}.$$

对“逐 bin 去调制 + 2D-FFT”的输出 $\widehat H[k,q]$（再取模平方）可得到一个非常干净的“冰山结构”解析式：

$$\mathbb E\big[|\widehat H[k,q]|^2\big] =\underbrace{|c_0(\varepsilon_0)|^2\,|D_N(k-k_0)|^2\,|D_M(q-q_0)|^2}_{\text{相干主瓣/旁瓣（被 }|c_0|^2\text{衰减）}} +\underbrace{MN\Big(1+(\kappa-2)|c_0(\varepsilon_0)|^2\Big)}_{\text{“海平面”（ICI 抬升）}}$$

其中 $D_N(\cdot),D_M(\cdot)$ 是 Dirichlet 核（整数栅格时在正确 bin 取到 $N,M$）。

结论（抑制性能一眼可比）：

• 主峰衰减：正确 bin 的主峰从 $\propto M^2N^2$ 变为 $\propto |c_0(\varepsilon_0)|^2 M^2N^2$。
• 旁瓣/杂散“地板”抬升：当 $\kappa<2$（QAM/PSK 常见），$(\kappa-2)<0$，而 $|c_0|^2<1$ 会让“负项变小”，所以海平面从理想的 $(\kappa-1)MN$ 向 $MN$ 抬升（更难抑制）。

当 $\varepsilon_0\to 0$（ICI 可忽略）时，$|c_0|\to 1$，上式退化到文章对 OFDM 的 FST-AF 结论：全域常数 ESL 为 $(\kappa-1)MN$，主瓣在 $(0,0)$。 (2512.08352v1.pdf)

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4) 情况 B：对每个 Doppler bin 做 fast-time 补偿的 OFDM ——把 ICI “搬回匹配滤波器”

你说的“对快时间每一个 bin 做快时间补偿”，在数学上就是：对每个 Doppler 假设 $q$，把匹配滤波器从文章的
$\mathbf D_{M,q}\otimes \mathbf J_{N,k}$
升级为包含 fast-time Doppler 的 full-Doppler 版本（等价于把 $\mathbf D_{N,\varepsilon}$ 也纳入假设），这会把 “ICI 的 Dirichlet 卷积”在匹配端抵消掉。

用上面同样的解析式，只需把

$$\varepsilon_0 \ \longrightarrow\ \varepsilon_{\rm res}(q)\triangleq \varepsilon_0-\frac{q}{M}$$

于是

$$\mathbb E\big[|\widehat H_{\rm comp}[k,q]|^2\big] =|c_0(\varepsilon_{\rm res}(q))|^2|D_N(k-k_0)|^2|D_M(q-q_0)|^2 +MN\Big(1+(\kappa-2)|c_0(\varepsilon_{\rm res}(q))|^2\Big).$$

在正确 Doppler bin（使 $\varepsilon_{\rm res}\approx 0$）时：$|c_0|\approx 1$，于是海平面回落到 $(\kappa-1)MN$，也就是文章中 OFDM 在 FST-AF 下能达到的最优常数 ESL。 (2512.08352v1.pdf)
这就是你要的“补偿 OFDM 的抑制提升”——它把 ICI 造成的主峰衰减和地板抬升都拉回去。

代价：需要“对每个 Doppler bin”做一次 fast-time 补偿/去卷积，本质上是在实现 full-Doppler 匹配。

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5) 情况 C：AFDM ——在 full-Doppler（含 ICI）的 DP-AF 下，最低旁瓣不是“切片”，而是一条“线”

关键点：当 ICI 不可忽略时，真正匹配的模糊函数应回到 DP-AF（full-Doppler）框架。文章给了 AFDM 的平均模平方 DP-AF 闭式：

\mathbb E\big(|A^{\rm AFDM}_{\rm DP}(k,q)|^2\big) = N+(\kappa-2)N\cdot \delta_{\langle 2Nc_1k-q\rangle_N,0}+N^2\delta_{k,0}\delta_{q,0}. $$ (2512.08352v1.pdf) 并且 AFDM 的**最低旁瓣位置**满足

\langle q-2Nc_1k\rangle_N=0,

也就是 delay-Doppler 平面上一条“模 $N$”的直线。 (2512.08352v1.pdf) 对比之下，OFDM 的平均模平方 DP-AF 为

\mathbb E\big(|A^{\rm OFDM}{\rm DP}(k,q)|^2\big) = N+(\kappa-2)N\cdot \delta{q,0}+N^2\delta_{k,0}\delta_{q,0},

即 **最低旁瓣全部压在 $q=0$ 的零多普勒切片上**（文章也明确指出这一点）。 (2512.08352v1.pdf) --- ## 6) 你要的“抑制性能差异”一句话总结（可直接写进论文） - **未补偿 OFDM（仍做 2D-FFT）**：在 ICI 存在时，2D-FFT 输出的平均 $|\cdot|^2$ 呈现 - 主峰按 $|c_0(\varepsilon_0)|^2$ 衰减 - 旁瓣“海平面”从 $(\kappa-1)MN$ 抬升到 $MN(1+(\kappa-2)|c_0|^2)$（QAM/PSK 下抬升明显） ⇒ **抑制最差**（地板抬升 + 主峰变矮）。 - **逐 Doppler bin 的 fast-time 补偿 OFDM**：把 $\varepsilon_0$ 变成残差 $\varepsilon_{\rm res}(q)$，在正确 bin 处 $|c_0|\to 1$， ⇒ **恢复到文章里 OFDM 的最优 FST-AF 水平 $(\kappa-1)MN$**（主峰与地板都恢复）。 (2512.08352v1.pdf) - **AFDM（full-Doppler / DP-AF 视角）**：最低旁瓣不是固定在 $q=0$，而是在 $\langle q-2Nc_1k\rangle_N=0$ 这条线上；通过选 $c_1$ 可以“转动”这条线的位置， ⇒ 相比补偿 OFDM（其最低旁瓣被“钉死”在零 Doppler 切片），AFDM 在 **“把低旁瓣放到你想要避开的区域”** 方面更灵活。 (2512.08352v1.pdf) --- 如果你下一步想把它写成“有效信道矩阵 $\mathbf H_{\rm eff}$”的形式（例如显式写出未补偿 OFDM 的 $\mathbf H_{\rm eff}(q)$ 是一个由 Dirichlet 核生成的循环矩阵、补偿后如何变回近似对角、AFDM 在 affine 域如何把 Weyl-Heisenberg 作用变成那条线），我可以继续把上面三个体制分别写成 **统一的矩阵核**，然后把 “2D-FFT→|·|²” 直接化成闭式（不再用口头解释）。