Здесь первая фотография - это отрывок из файла для...

Ниже — исправленный, полный и логически связный “первый билет” про разложение Калмана на управляемое и неуправляемое подпространства (по управляемости).
Я сделал явным что именно доказывается (теорема о канонической форме по управляемости), как именно применяется невырожденная матрица замены координат, и дал аккуратное доказательство через управляемое (достижимое) подпространство.

---

1) Что именно доказывается в “первом билете” (суть утверждения)

Доказывается классическая теорема (часть разложения Калмана):

Если система $\dot x = Ax + Bu$ не полностью управляема, то существует невырожденная матрица замены координат $S$, такая что в новых координатах $\xi = S^{-1}x$ система распадается на управляемую и неуправляемую части:

$$\frac{d\xi}{dt}= \begin{bmatrix} A_c & A_{12}\\ 0 & A_u \end{bmatrix}\xi+ \begin{bmatrix} B_c\\ 0 \end{bmatrix}u, \qquad \xi= \begin{bmatrix}\xi_c\\ \xi_u\end{bmatrix}.$$

Причём $(A_c,B_c)$ — полностью управляема, а подсистема $\xi_u$ не зависит от входа $u$.

Эта структура (блок $0$ снизу слева и нулевой нижний блок у $B$) — как раз то, что в твоём оборванном билете пытались показать. Аналогичная формулировка и построение через столбцы матрицы управляемости приведены в конспектах/лекциях (например, в слайдах UW, где явно записана такая блочная форма и как выбирать матрицу преобразования из столбцов матрицы управляемости), а также это является частью общего разложения Калмана через подобие $\hat A = TAT^{-1}$, $\hat B = TB$.

---

2) Главное исправление: как применяется матрица замены координат $S$

В оборванном билете пропущен критический шаг. Он должен выглядеть так:

Пусть задана замена координат

$$x = S\xi \quad (\Leftrightarrow\quad \xi=S^{-1}x), \qquad \det S\neq 0.$$

Тогда $S$ — постоянная, значит:

$$\dot x = S\dot\xi.$$

Подставляем в исходную систему $\dot x = Ax + Bu$:

$$S\dot\xi = A(S\xi)+Bu.$$

Умножаем слева на $S^{-1}$:

$$\dot\xi = S^{-1}AS\,\xi + S^{-1}B\,u.$$

И уже после этого вводим обозначения $\bar A = S^{-1}AS$, $\bar B = S^{-1}B$, получая систему в новых переменных.

---

3) Готовый исправленный билет (файл + “фото”)

Я оформил это в аккуратный билет (2 страницы, всё разборчиво):

✅ PDF-файл

Скачать PDF: kalman_ticket_controllability.pdf

✅ “Фотографии” страниц (PNG)

• Страница 1: kalman_ticket_page1.png
• Страница 2: kalman_ticket_page2.png

---

4) Текст билета (чтобы можно было копировать)

Определения

Рассмотрим LTI систему:

$$\dot x = Ax + Bu,\qquad x\in\mathbb R^n,\ u\in\mathbb R^m.$$

Матрица управляемости (Калмана):

$$\mathcal M(A,B) = \big[\,B\ \ AB\ \ A^2B\ \ \dots\ \ A^{n-1}B\,\big].$$

Управляемое (достижимое) подпространство:

$$\mathcal R = \operatorname{Im}\mathcal M(A,B)=\operatorname{span}\{B,AB,\dots,A^{n-1}B\}.$$

Его размерность $n_c = \operatorname{rank}\mathcal M(A,B)$. Полная управляемость ⇔ $n_c=n$.

---

Теорема (каноническая форма по управляемости)

Если $n_c< n$, то существует $\det S\neq 0$, что при $x=S\xi$ система принимает вид:

$$\dot\xi= \begin{bmatrix} A_c & A_{12}\\ 0 & A_u \end{bmatrix}\xi+ \begin{bmatrix} B_c\\ 0 \end{bmatrix}u,\qquad \xi= \begin{bmatrix}\xi_c\\ \xi_u\end{bmatrix},$$

где $\xi_c\in\mathbb R^{n_c}$ — управляемые координаты, $\xi_u\in\mathbb R^{n-n_c}$ — неуправляемые; причём $(A_c,B_c)$ полностью управляема, а $\xi_u$ не зависит от $u$.
(Такая блочная форма и построение через столбцы матрицы управляемости приводится в стандартных курсах/конспектах.)

---

Как применяется $S$

$$x=S\xi\Rightarrow \dot x = S\dot\xi.$$

Подстановка:

$$S\dot\xi = AS\xi+Bu \Rightarrow \dot\xi = S^{-1}AS\,\xi + S^{-1}B\,u.$$

---

Доказательство существования разложения

1. Инвариантность $\mathcal R$ относительно $A$.
   Если $v\in\mathcal R$, то $v=\sum_{k=0}^{n-1}A^kBw_k$. Тогда

$$Av=\sum_{k=0}^{n-1}A^{k+1}Bw_k\in\mathcal R.$$

Значит $A\mathcal R\subseteq\mathcal R$.

2. Построение $S$.
   Выбираем столбцы $S_1$ как базис $\mathcal R$ (например, $n_c$ линейно независимых столбцов $\mathcal M(A,B)$ — ровно так и советуют делать в канонической форме по управляемости).
   Дополним их до базиса $\mathbb R^n$ столбцами $S_2$. Тогда

$$S = [\,S_1\ S_2\,],\qquad \det S\neq 0.$$

3. Блочная форма для $S^{-1}AS$.
   Так как $A\mathcal R\subseteq\mathcal R$, то $AS_1$ выражается через $S_1$:

$$AS_1 = S_1A_c.$$

В общем случае $AS_2$ может иметь часть в $\mathcal R$ и в дополнении:

$$AS_2 = S_1A_{12}+S_2A_u.$$

Значит

$$A[S_1\ S_2] = [S_1\ S_2] \begin{bmatrix} A_c & A_{12}\\ 0 & A_u \end{bmatrix}.$$

Умножая слева на $S^{-1}$, получаем $S^{-1}AS$ с нулевым нижним левым блоком.

4. Блочная форма для $S^{-1}B$.
   Столбцы $B$ лежат в $\mathcal R=\operatorname{span}(S_1)$, значит

$$B=S_1B_c\Rightarrow S^{-1}B= \begin{bmatrix}B_c\\ 0\end{bmatrix}.$$

То есть вход не действует на $\xi_u$. Это также подчёркнуто в стандартных выводах (нижний блок у $\bar B$ нулевой).

5. Управляемость пары $(A_c,B_c)$.
   В новых координатах управляемое подпространство соответствует $\{\xi:\xi_u=0\}$ и имеет размерность $n_c$. Следовательно $\operatorname{rank}\mathcal M(A_c,B_c)=n_c$, т.е. управляемая часть полностью управляема (это также отмечается в стандартной формулировке теоремы).

---

5) Если хочешь — могу сделать “как в твоих билетах” (в точности по стилю)

Если ты пришлёшь оригинальный файл/страницу (именно тот “первый билет”, который оборван), я могу:

• сохранить тот же формат, те же обозначения (как у преподавателя),
• исправить именно внутри твоего билета, без смены терминологии,
• вернуть одним изображением, “как в конспекте”.

---

Если сейчас всё ок — просто скачай PDF/PNG и пользуйся.