logoChat01.ai

Каждое из целых чисел a,b,c по модулю не превышает...

Criado em: 9 de janeiro de 2026

Respondido usando GPT-5.2 Thinking por Chat01

Pergunta

Каждое из целых чисел a,b,c по модулю не превышает 5, при этом ∣c∣≤4∣a∣−2∣b∣. Сколько существует таких троек (a,b,c), что уравнение ax^2 +bx+c=0 имеет только целые корни?

Python

python
count=0
triples=[]
for a in range(-5,6):
    for b in range(-5,6):
        for c in range(-5,6):
            if a==0: 
                continue
            if abs(c) <= 4*abs(a) - 2*abs(b):
                # check integer roots
                # Solve quadratic: a x^2 + b x + c = 0
                D=b*b-4*a*c
                if D<0: 
                    continue
                import math
                s=int(math.isqrt(D))
                if s*s!=D: 
                    continue
                # roots rational:
                num1=-b+s
                num2=-b-s
                den=2*a
                # check integer
                if num1%den==0 and num2%den==0:
                    r1=num1//den
                    r2=num2//den
                    # confirm
                    if a*r1*r1 + b*r1 + c==0 and a*r2*r2+b*r2+c==0:
                        count+=1
                        triples.append((a,b,c,r1,r2))
count, len(triples)


(58, 58)

Python

python
from collections import Counter, defaultdict
countsA=defaultdict(int)
tripA=defaultdict(list)
for a,b,c,r1,r2 in triples:
    countsA[abs(a)]+=1
    tripA[abs(a)].append((a,b,c,r1,r2))
countsA


defaultdict(int, {5: 8, 4: 8, 3: 8, 2: 16, 1: 18})

Pensamento

Counting integer pairs for positive a values

For each ∣a∣|a|, we identified the number of valid triples:

  • For ∣a∣=1|a| = 1, there are 18,
  • For ∣a∣=2|a| = 2, there are 16, and
  • For ∣a∣=3,4,5|a| = 3, 4, 5, there are 8 each.

After counting for positive aa, I doubled it to 58 in total. Now I’m focusing on selecting integer pairs that satisfy the conditions for SS and PP, ensuring that the discriminant is a perfect square.

Counting solvable (S,P) pairs for A=5

For A=5A=5, MM is 1, and we have constraints ∣S∣≤min⁡(1,2)=1|S| \leq \min(1,2) = 1 and ∣P∣≤min⁡(1,4−2∣S∣)|P| \leq \min(1, 4-2|S|). Checking each SS-value:

  • For S=0S=0 and P=0P=0, the roots are 0,00,0.
  • For P=−1P=-1, roots are ±1\pm1. Overall, we count solutions based on solvable pairs with perfect square discriminants.

Counting integer solutions for A=2

For A=2A=2, with M=2M=2, we check possible SS-values: 0,±1,±20, \pm1, \pm2. For ∣S∣=0|S|=0, PP can be in {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\}, but only P=0P=0 or P=−1P=-1 produce integer roots. So, there are 2 valid pairs for S=0S=0. I'll continue processing for each SS.

Counting valid integer solutions for S=±1

We solve t2−t+P=0t^2 - t + P = 0 for S=1S=1 or t2+t+P=0t^2 + t + P = 0 for S=−1S=-1. For P=0P=0, D=1 which gives roots 0,1. For P=−2P=-2, D=9 which gives roots 2,-1 or -2,1. Thus, each S=±1S=\pm 1 yields 2 valid pairs of integer solutions.

Counting integer solutions for different values of S

For each S value, we check possible P values for valid integer roots. For S=±1, we find 4 pairs. For S=±2, we find 2 pairs. For S=0 at A=2, the total pairs are 8. This calculation gives 16 possible matches considering both signs of A.

Breaking down the solution for triples (a,b,c)

For each pair of roots and a positive value of a, I calculate the coefficients b = -aS and c = aP. The number of solutions matches based on S and P since they determine the pair. After simplifying the inequality and using factorization, I calculate bounds for |b| and |c|, leading to the conclusion that |S| must be within {-2,-1,0,1,2}.

Tabulating solutions based on discriminant criteria

For each value of S, I compute the allowed P values based on the constraint |P| ≤ min(M, 4-2|S|). Then, I check for integer values of m and n where the discriminant Δ = S² - 4P is a perfect square. I tabulate the results for each value of A, ensuring all cases are counted appropriately.

Thought for 1m 42s

Resposta

Пусть a≠0a\neq 0 (иначе это не квадратное уравнение) и уравнение имеет целые корни m,n∈Zm,n\in\mathbb Z. Тогда

ax2+bx+c=a(x−m)(x−n)=ax2−a(m+n)x+amn,ax^2+bx+c=a(x-m)(x-n)=ax^2-a(m+n)x+a mn,

то есть

b=−a(m+n),c=amn.b=-a(m+n),\qquad c=a mn.

Обозначим A=∣a∣A=|a|, S=m+nS=m+n, P=mnP=mn. Тогда

∣b∣=A∣S∣,∣c∣=A∣P∣.|b|=A|S|,\qquad |c|=A|P|.

1) Перепишем неравенство

Дано ∣c∣≤4∣a∣−2∣b∣|c|\le 4|a|-2|b|. Подставляем:

A∣P∣≤4A−2A∣S∣⟹∣P∣≤4−2∣S∣.A|P|\le 4A-2A|S|\quad\Longrightarrow\quad |P|\le 4-2|S|.

Отсюда сразу 4−2∣S∣≥0⇒∣S∣≤24-2|S|\ge 0\Rightarrow |S|\le 2.

Также по ограничениям ∣b∣≤5, ∣c∣≤5|b|\le 5,\ |c|\le 5:

A∣S∣≤5,A∣P∣≤5A|S|\le 5,\quad A|P|\le 5

то есть, если M=⌊5A⌋M=\left\lfloor\frac{5}{A}\right\rfloor, то ∣S∣≤M|S|\le M и ∣P∣≤M|P|\le M.

Итак, для каждого A∈{1,2,3,4,5}A\in\{1,2,3,4,5\}:

∣S∣≤min⁡(M,2),∣P∣≤min⁡(M, 4−2∣S∣),|S|\le \min(M,2),\qquad |P|\le \min\bigl(M,\ 4-2|S|\bigr),

и должны существовать целые m,nm,n с суммой SS и произведением PP.

2) Какие пары (S,P)(S,P) вообще дают целые m,nm,n?

Пары (m,n)(m,n) однозначно задаются S,PS,P (как корни t2−St+P=0t^2-St+P=0). При наших малых ограничениях достаточно выписать подходящие пары:

  • S=0S=0: целые корни у t2+P=0t^2+P=0 бывают только при P=0,−1,−4P=0,-1,-4 (пары (0,0),(1,−1),(2,−2)(0,0),(1,-1),(2,-2)).
  • S=±1S=\pm1: t2∓t+P=0t^2\mp t+P=0 даёт целые корни при P=0,−2P=0,-2 (пары (0,1),(−1,2)(0,1),(-1,2) и (0,−1),(1,−2)(0,-1),(1,-2)).
  • S=±2S=\pm2: из условия ∣P∣≤4−2∣S∣=0|P|\le 4-2|S|=0 следует P=0P=0 (пары (0,2),(−2,0)(0,2),(-2,0)).

Теперь просто смотрим, какие из этих PP разрешены ещё и ограничением ∣P∣≤M=⌊5/A⌋|P|\le M=\lfloor 5/A\rfloor.

3) Подсчёт по A=∣a∣A=|a|

  • A=1A=1: M=5M=5. Разрешены все перечисленные выше случаи ⇒ пар (m,n)(m,n) (неупорядоченных) =9=9.
    Значит при a=1a=1 получаем 9 троек (a,b,c)(a,b,c). При a=−1a=-1 столько же ⇒ 18.

  • A=2A=2: M=2M=2. Запрещается только P=−4P=-4.
    Остаётся: при S=0S=0: P=0,−1P=0,-1 (2 случая), при S=±1S=\pm1: P=0,−2P=0,-2 (4 случая), при S=±2S=\pm2: P=0P=0 (2 случая). Итого 2+4+2=82+4+2=8 для a=2a=2, и столько же для a=−2a=-2 ⇒ 16.

  • A=3,4,5A=3,4,5: M=1M=1. Тогда возможны только P=0P=0 или P=−1P=-1, а также ∣S∣≤1|S|\le 1.
    Получаем ровно 4 пары корней: (0,0),(1,−1),(0,1),(−1,0)(0,0),(1,-1),(0,1),(-1,0).
    Значит для каждого из a=±3,±4,±5a=\pm3,\pm4,\pm5: по 4 тройки ⇒ для каждого AA по 8.

Сумма:

18+16+8+8+8=58.18+16+8+8+8=58.

Ответ: 5858.

Compartilhar esta Q&A