Ниже я дам общий алгоритм (Фурье + разделение переменных) и явно выпишу задачу Штурма–Лиувилля (с собственными числами/функциями), а затем решу задачи.

⚠️ Важно про фото: у меня чётко читается “Вариант 7” (я его решаю без допущений).
“Вариант 12 / 14 / 27” на присланных мини-фото читаются хуже, поэтому я выпишу их в том виде, как я их разобрал, и решу. Если где-то у вас в условии отличается знак/граница/условие — просто пришлите более резкое фото или перепишите 1 строкой, и я мгновенно поправлю.

---

1) Общая схема решения (метод Фурье + разделение переменных)

Рассматриваем PDE на $0<x<L,\; t>0$ с однородными граничными условиями.

Шаг A. Пространственная часть → задача Штурма–Лиувилля

Ищем решения в виде $u(x,t)=X(x)T(t)$. Для уравнений теплопроводности/волны всегда возникает одна и та же пространственная задача:

$$- X''(x)=\lambda X(x),\qquad 0<x<L,$$

с граничными условиями (Дирихле/Нейман/смешанные).

Это частный случай общей задачи Штурма–Лиувилля

$$-\bigl(p(x)X'\bigr)'+q(x)X=\lambda r(x)X,$$

где в наших задачах обычно $p=1,\; q=0,\; r=1$.

Решаем её → получаем $\lambda_n$ и $X_n(x)$ (собственные числа/функции), которые образуют ортогональную систему.

Шаг B. Разложение по собственным функциям (ряд Фурье по $X_n$)

Ищем решение как ряд:

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty y_n(t)\,X_n(x)\quad (\text{и иногда } n=0 \text{ при Неймане}).$$

Начальные данные и правую часть (если есть $f(x,t)$) тоже раскладываем:

$$u(x,0)=\sum a_n X_n(x),\quad u_t(x,0)=\sum b_n X_n(x),\quad f(x,t)=\sum F_n(t)X_n(x).$$

Коэффициенты берутся по ортогональности:

$$a_n=\frac{\int_0^L u(x,0)\,X_n(x)\,dx}{\int_0^L X_n^2(x)\,dx},\qquad b_n=\frac{\int_0^L u_t(x,0)\,X_n(x)\,dx}{\int_0^L X_n^2(x)\,dx}.$$

Шаг C. Временные ОДУ для мод $y_n(t)$

1) Волновое уравнение

$$u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)$$

даёт для каждой моды:

$$y_n''(t)+a^2\lambda_n\,y_n(t)=F_n(t),$$

с начальными условиями $y_n(0)=a_n,\; y_n'(0)=b_n$.

2) Теплопроводность

$$u_t-a^2u_{xx}=f(x,t)$$

даёт:

$$y_n'(t)+a^2\lambda_n\,y_n(t)=F_n(t),\qquad y_n(0)=a_n.$$

Дальше либо решаем каждую моду, либо (как в ваших вариантах) часто правая часть/начальные данные совпадают с одной собственной функцией ⇒ остаётся одна мода.

---

2) Явное решение задачи Штурма–Лиувилля для типовых ГУ (с $\lambda_n$, $X_n$)

Пусть $0<x<L$. Решаем

$$- X''=\lambda X.$$

(а) Дирихле–Дирихле: $X(0)=0,\;X(L)=0$

$$\lambda_n=\Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^2,\qquad X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\quad n=1,2,\dots$$ $$\int_0^L X_n^2\,dx=\frac{L}{2}.$$

(б) Нейман–Нейман: $X'(0)=0,\;X'(L)=0$

$$\lambda_0=0,\;X_0(x)=1; \qquad \lambda_n=\Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^2,\;X_n(x)=\cos\frac{n\pi x}{L},\; n\ge1.$$ $$\int_0^L X_0^2dx=L,\qquad \int_0^L X_n^2dx=\frac{L}{2}\ (n\ge1).$$

(в) Смешанные: $X'(0)=0,\;X(L)=0$ (Нейман слева, Дирихле справа)

Решение $X=A\cos(\sqrt\lambda x)+B\sin(\sqrt\lambda x)$.
Из $X'(0)=0\Rightarrow B=0\Rightarrow X=A\cos(\sqrt\lambda x)$.
Из $X(L)=0\Rightarrow \cos(\sqrt\lambda L)=0\Rightarrow \sqrt\lambda L=\frac{\pi}{2}+n\pi$.

$$\lambda_n=\Bigl(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\Bigr)^2,\qquad X_n(x)=\cos\frac{(2n+1)\pi x}{2L},\quad n=0,1,2,\dots$$ $$\int_0^L X_n^2dx=\frac{L}{2}.$$

(г) Смешанные: $X(0)=0,\;X'(L)=0$ (Дирихле слева, Нейман справа)

Аналогично:

$$\lambda_n=\Bigl(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\Bigr)^2,\qquad X_n(x)=\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2L},\quad n=0,1,2,\dots$$ $$\int_0^L X_n^2dx=\frac{L}{2}.$$

---

3) Решения ваших задач

Вариант 7 (с фото читается точно)

7.1) $u_{tt}-a^2u_{xx}=e^{2t}\sin\frac{4\pi x}{l}$, $0<x<l$

ГУ: $u(0,t)=u(l,t)=0$. НУ: $u(x,0)=0,\;u_t(x,0)=0$.

Ш–Л: Дирихле–Дирихле на $[0,l]$:

$$X_n=\sin\frac{n\pi x}{l},\quad \lambda_n=\Bigl(\frac{n\pi}{l}\Bigr)^2.$$

Правая часть — ровно одна мода $n=4$, т.к.

$$\sin\frac{4\pi x}{l}=X_4(x),\qquad \lambda_4=\Bigl(\frac{4\pi}{l}\Bigr)^2.$$

Ищем

$$u(x,t)=b(t)\sin\frac{4\pi x}{l}.$$

Подстановка даёт ОДУ:

$$b''(t)+a^2\Bigl(\frac{4\pi}{l}\Bigr)^2 b(t)=e^{2t},\qquad b(0)=0,\;b'(0)=0.$$

Обозначим $k=\frac{4\pi}{l}$, $\omega=ak$, $D=4+a^2k^2=4+\omega^2$.

Частное решение берём $b_p=C e^{2t}$:

$$4C + a^2k^2 C = 1 \ \Rightarrow\ C=\frac1{4+a^2k^2}=\frac1D.$$

Общее:

$$b(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)+\frac{e^{2t}}D.$$

Из $b(0)=0$: $A+\frac1D=0\Rightarrow A=-\frac1D$.
Из $b'(0)=0$: $B\omega+\frac{2}{D}=0\Rightarrow B=-\frac{2}{\omega D}$.

Итак,

$$b(t)=\frac{e^{2t}-\cos(\omega t)-\frac{2}{\omega}\sin(\omega t)}{D}.$$

Ответ:

$$\boxed{ u(x,t)=\frac{e^{2t}-\cos\!\Bigl(a\frac{4\pi}{l}t\Bigr)-\frac{2}{a\frac{4\pi}{l}}\sin\!\Bigl(a\frac{4\pi}{l}t\Bigr)} {4+a^2\Bigl(\frac{4\pi}{l}\Bigr)^2} \;\sin\frac{4\pi x}{l} }$$

---

7.2) $u_t-4u_{xx}=0$, $0<x<\pi$

ГУ: $u_x(0,t)=u_x(\pi,t)=0$. НУ: $u(x,0)=4\cos\frac{3x}{2}$.

Ш–Л: Нейман–Нейман на $[0,\pi]$:

$$X_0=1,\ \lambda_0=0;\qquad X_n=\cos(nx),\ \lambda_n=n^2,\ n\ge1.$$

Ищем решение как косинус-ряд:

$$u(x,t)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty A_n e^{-4n^2 t}\cos(nx).$$

Коэффициенты — косинусные:

$$A_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi 4\cos\frac{3x}{2}\,dx =\frac{8}{\pi}\cdot \frac{2}{3}\Bigl[\sin\frac{3x}{2}\Bigr]_0^\pi =\frac{16}{3\pi}\sin\frac{3\pi}{2}=-\frac{16}{3\pi}.$$

Значит $\frac{A_0}{2}=-\frac{8}{3\pi}$.

Для $n\ge1$:

$$A_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi 4\cos\frac{3x}{2}\cos(nx)\,dx =\frac{8}{\pi}\cdot \frac12\int_0^\pi\Bigl(\cos((\tfrac32-n)x)+\cos((\tfrac32+n)x)\Bigr)\,dx.$$ $$A_n=\frac{4}{\pi}\left[ \frac{\sin((\tfrac32-n)\pi)}{\tfrac32-n}+\frac{\sin((\tfrac32+n)\pi)}{\tfrac32+n} \right].$$

Так как $\sin(\tfrac{3\pi}{2}\pm n\pi)=(-1)^{n+1}$, получаем

$$A_n=\frac{4}{\pi}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{\tfrac32-n}+\frac{1}{\tfrac32+n}\right) =\frac{48}{\pi}\frac{(-1)^{n+1}}{9-4n^2}.$$

Ответ:

$$\boxed{ u(x,t)=-\frac{8}{3\pi}+\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{48}{\pi}\frac{(-1)^{n+1}}{9-4n^2}\right)e^{-4n^2 t}\cos(nx) }$$

---

Вариант 12 (как я прочитал с фото)

12.1) $u_{tt}-a^2u_{xx}=0,\ 0<x<\pi$

ГУ: $u_x(0,t)=0,\ u(\pi,t)=0$. НУ: $u(x,0)=0,\ u_t(x,0)=\cos\frac{3x}{2}$.

Ш–Л: смешанная $X'(0)=0,\ X(\pi)=0$:

$$\lambda_n=\Bigl(\frac{2n+1}{2}\Bigr)^2,\quad X_n(x)=\cos\frac{(2n+1)x}{2}.$$

Здесь $\cos\frac{3x}{2}=X_{1}(x)$ (потому что $2\cdot1+1=3$) ⇒ одна мода.

Общий вид для волны:

$$u(x,t)=\sum\left(A_n\cos(a\sqrt{\lambda_n}t)+B_n\sin(a\sqrt{\lambda_n}t)\right)X_n(x).$$

Из $u(x,0)=0\Rightarrow A_n=0$.
Из $u_t(x,0)=\cos\frac{3x}{2}\Rightarrow B_1\cdot a\sqrt{\lambda_1}X_1=\;X_1$.

$\sqrt{\lambda_1}=\frac{3}{2}$, значит

$$B_1\cdot a\frac{3}{2}=1\ \Rightarrow\ B_1=\frac{2}{3a}.$$

Ответ:

$$\boxed{ u(x,t)=\frac{2}{3a}\,\sin\!\Bigl(\frac{3a}{2}t\Bigr)\cos\frac{3x}{2} }$$

12.2) $u_t-a^2u_{xx}=4t\sin(5\pi x),\ 0<x<1$

ГУ: $u(0,t)=u(1,t)=0$. НУ: $u(x,0)=0$.

Ш–Л: Дирихле–Дирихле на $[0,1]$:

$$X_n=\sin(n\pi x),\quad \lambda_n=(n\pi)^2.$$

Правая часть — мода $n=5$. Ищем $u=b(t)\sin(5\pi x)$. Тогда

$$b'(t)+a^2(5\pi)^2 b(t)=4t,\quad b(0)=0.$$

Обозначим $\kappa=25a^2\pi^2$. Решение линейного ОДУ:

$$b(t)=e^{-\kappa t}\int_0^t 4s e^{\kappa s}ds = \frac{4t}{\kappa}+\frac{4}{\kappa^2}(e^{-\kappa t}-1).$$

Ответ:

$$\boxed{ u(x,t)=\left(\frac{4t}{25a^2\pi^2}+\frac{4}{(25a^2\pi^2)^2}\bigl(e^{-25a^2\pi^2 t}-1\bigr)\right)\sin(5\pi x) }$$

---

Вариант 27 (по мини-фото я разобрал так)

27.1) $u_{tt}-u_{xx}=0,\ 0<x<l$

ГУ: $u(0,t)=0,\ u_x(l,t)=0$. НУ: $u(x,0)=\sin\frac{3\pi x}{2l},\ u_t(x,0)=0$.

Ш–Л: $X(0)=0,\ X'(l)=0$ ⇒

$$\lambda_n=\Bigl(\frac{(2n+1)\pi}{2l}\Bigr)^2,\quad X_n=\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2l}.$$

Начальная форма — это $n=1$. Для волны со скоростью $1$:

$$u(x,t)=\cos(\sqrt{\lambda_1}\,t)\,X_1(x),\quad \sqrt{\lambda_1}=\frac{3\pi}{2l}.$$

Ответ:

$$\boxed{ u(x,t)=\cos\!\Bigl(\frac{3\pi}{2l}t\Bigr)\sin\frac{3\pi x}{2l} }$$

27.2) $u_t-a^2u_{xx}=0,\ 0<x<\pi$

ГУ: $u_x(0,t)=u_x(\pi,t)=0$. НУ: $u(x,0)=3\cos 2x$.

$\cos 2x$ — собственная функция Неймана при $n=2$, $\lambda_2=4$. Поэтому

Ответ:

$$\boxed{ u(x,t)=3e^{-a^2\cdot 4t}\cos 2x }$$

---

Вариант 14 (по мини-фото я разобрал так)

14.1) $u_{tt}-4u_{xx}=0,\ 0<x<l$

ГУ: $u_x(0,t)=0,\ u(l,t)=0$. НУ: $u(x,0)=3\cos\frac{5\pi x}{2l},\ u_t(x,0)=0$.

Это смешанная Ш–Л как в п.2(в):

$$X_n=\cos\frac{(2n+1)\pi x}{2l},\quad \sqrt{\lambda_n}=\frac{(2n+1)\pi}{2l}.$$

Дано $X_2$ (потому что $2\cdot2+1=5$). Скорость волны $c=2$ (так как $u_{tt}-c^2u_{xx}=0$ и $c^2=4$).

Ответ:

$$\boxed{ u(x,t)=3\cos\!\Bigl(2\cdot\frac{5\pi}{2l}t\Bigr)\cos\frac{5\pi x}{2l} = 3\cos\!\Bigl(\frac{5\pi}{l}t\Bigr)\cos\frac{5\pi x}{2l} }$$

14.2) (я прочитал как) $u_{tt}-a^2u_{xx}=0,\ 0<x<1$

ГУ: $u(0,t)=u(1,t)=0$. НУ: $u(x,0)=3\sin(\pi x),\ u_t(x,0)=0$.

Это 1-я мода Дирихле на $[0,1]$: $\lambda_1=\pi^2,\ X_1=\sin(\pi x)$.

Ответ:

$$\boxed{ u(x,t)=3\cos(a\pi t)\sin(\pi x) }$$

---

Если хочешь “универсальный шаблон” в одну строку

• Волна:

$$u(x,t)=\sum_n\Bigl(a_n\cos(a\sqrt{\lambda_n}t)+\frac{b_n}{a\sqrt{\lambda_n}}\sin(a\sqrt{\lambda_n}t)\Bigr)X_n(x)$$

(+ частное, если есть $f(x,t)$).

• Тепло:

$$u(x,t)=\sum_n a_n e^{-a^2\lambda_n t}X_n(x)$$

(+ интеграл Дюамеля, если есть $f(x,t)$).

---

Если пришлёшь одно чёткое фото “Вариант 12/14/27” (или просто перепишешь условия текстом), я:

1. проверю, что я не ошибся в граничных/начальных,
2. и если где-то не “одна мода”, аккуратно посчитаю коэффициенты рядов Фурье до итоговой формулы.