Реши

Ниже — решения варианта 2 (как на фото).

---

1) К–Р и дифф./конформность

$$u=\frac{x^3-3xy^2}{(1+x^2+y^2)^3},\qquad v=\frac{3x^2y-y^3}{(1+x^2+y^2)^3}.$$

Проверка уравнений Коши–Римана даёт

$$u_x-v_y=\frac{-6\,(x^2-2xy-y^2)(x^2+2xy-y^2)}{(1+x^2+y^2)^4},\qquad u_y+v_x=\frac{24xy(y^2-x^2)}{(1+x^2+y^2)^4}.$$

Совместно это обращается в ноль только при $(x,y)=(0,0)$. Так как частные производные непрерывны всюду, $f=u+iv$ комплексно дифференцируема только в точке $z=0$.

Производная:

$$f'(0)=u_x(0,0)+iv_x(0,0)=0.$$

Вывод: дифференцируема только в $0$, но не конформна в $0$ (так как $f'(0)=0$); вне $0$ — не дифференцируема.

---

2) Найти $v(x,y)$, $v(0,0)=0$

На фото стоит

$$u(x,y)=e^x\big((1-y)\cos y+y\sin y\big).$$

Необходимое условие существования сопряжённой гармонической: $u$ должна быть гармонической. Здесь

$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=2e^x(\cos y+\sin y)\neq 0,$$

поэтому такой $v(x,y)$ не существует (нет голоморфной $f=u+iv$).

Если же в условии опечатка и должно быть $(1-x)\cos y+y\sin y$ (частый стандартный вариант), тогда

$$v(x,y)=e^x\big((1-x)\sin y-y\cos y\big),\quad v(0,0)=0.$$

---

3) Главная ветвь $\Log$ (разрез $(-\infty,0]$)

$$\Log z=\ln|z|+i\Arg z,\quad \Arg z\in(-\pi,\pi).$$

• $\Log(-i)= i\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\,\frac{i\pi}{2}$.
• $\Log(1-i)=\ln\sqrt2+i\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12\ln2-\frac{i\pi}{4}$.
• $\Log(2i)=\ln2+i\frac{\pi}{2}$.

---

4) Лоран около $z=1$, тип и $\operatorname{Res}_{z=1}$

$$f(z)=\frac{e^{2z}(z^2+z+2)}{(z-1)^2(z+3)}.$$

В точке $z=1$ — полюс 2-го порядка. Разложение (главная часть + 2 регулярных члена):

$$f(z)=\frac{e^2}{(z-1)^2}+\frac{5e^2}{2(z-1)}+\frac{25e^2}{8}+\frac{245e^2}{96}(z-1)+\cdots$$ $$\boxed{\operatorname{Res}_{z=1} f=\frac{5e^2}{2}}.$$

---

5) Лоран около $z=0$, тип и вычет

$$g(z)=\frac{\big(\log(1-z)\big)^2}{z^3},\quad \log(1-z)=-(z+\tfrac{z^2}{2}+\tfrac{z^3}{3}+\cdots).$$

Тогда

$$g(z)=\frac1z+1+\frac{11}{12}z+\cdots$$

Значит $z=0$ — простой полюс, и

$$\boxed{\operatorname{Res}_{z=0} g=1.}$$

---

6) $\operatorname{Res}_{z=\infty}$ для $h(z)$

$$h(z)=\frac{z^2-4z+3}{z(z+1)}=1+\frac{3}{z}-\frac{8}{z+1}.$$

Сумма вычетов в конечных точках:

$$\operatorname{Res}_{0}h=3,\qquad \operatorname{Res}_{-1}h=-8,\qquad \sum=-5.$$ $$\boxed{\operatorname{Res}_{\infty}h=-\sum\limits_{\text{конечн.}}\operatorname{Res}=5.}$$

---

7) Интеграл

$$I_1=\oint_{|z|=3}\frac{\cos z}{z^2(z-2)}\,dz.$$

Полюса внутри: $z=0$ (2-го порядка), $z=2$ (простой).

$$\operatorname{Res}_{z=2}=\frac{\cos2}{2^2}=\frac{\cos2}{4}.$$ $$\operatorname{Res}_{z=0}=\left.\frac{d}{dz}\Big(\frac{\cos z}{z-2}\Big)\right|_{z=0} =\frac{-1}{4}.$$

Сумма: $\dfrac{\cos2-1}{4}$. Тогда

$$\boxed{I_1=2\pi i\cdot \frac{\cos2-1}{4}=\frac{\pi i}{2}\,(\cos2-1).}$$

---

8) Интеграл

$$I_2=\oint_{|z+1|=2}\frac{e^{z}}{(z+1)^2 z^3}\,dz.$$

Внутри контура: $z=-1$ (2-го порядка) и $z=0$ (3-го порядка).

• При $z=-1$:

$$\operatorname{Res}_{-1}=\left.\frac{d}{dz}\Big(\frac{e^z}{z^3}\Big)\right|_{z=-1}=-\frac{4}{e}.$$

• При $z=0$:

$$\operatorname{Res}_{0}=\frac1{2!}\left.\frac{d^2}{dz^2}\Big(\frac{e^z}{(z+1)^2}\Big)\right|_{z=0}=\frac{3}{2}.$$

Сумма: $\frac32-\frac{4}{e}$. Тогда

$$\boxed{I_2=2\pi i\Big(\frac32-\frac{4}{e}\Big)=3\pi i-\frac{8\pi i}{e}.}$$

---

9) При $\Re s>0$

$$I_3(s)=\int_0^\infty e^{-st}t^2\cos(3t)\,dt.$$ $$\mathcal L\{\cos(3t)\}=\frac{s}{s^2+9},\qquad \mathcal L\{t^2 f(t)\}= \frac{d^2}{ds^2}\mathcal L\{f\}.$$

Значит

$$I_3(s)=\frac{d^2}{ds^2}\Big(\frac{s}{s^2+9}\Big)=\boxed{\frac{2s(s^2-27)}{(s^2+9)^3}}.$$

---

10) Построить $f$ и вычислить $\displaystyle\oint_{|z|=5} f(z)\,dz$

Нужны простые полюса: $z=-1$ с $\operatorname{Res}=2$, $z=3$ с $\operatorname{Res}=-3$, и $f(z)\to0$ при $z\to\infty$. Подходит

$$\boxed{f(z)=\frac{2}{z+1}-\frac{3}{z-3}} \quad (\to 0 \text{ при } z\to\infty).$$

Оба полюса внутри $|z|=5$, поэтому

$$\oint_{|z|=5} f(z)\,dz=2\pi i\,(2-3)=\boxed{-2\pi i}.$$

---

Если хочешь, могу оформить это в виде аккуратного “решения для сдачи” (как в тетради: с пояснениями формул для вычетов и т.п.).