Теплоизолированный сосуд заполнен идеальным одноат...

Pergunta

Теплоизолированный сосуд заполнен идеальным одноатомным газом и разделён невесомым поршнем на две части. Соотношение их объёмов не задано. Поршень может скользить без трения. Начальное давление в сосуде P0=1790 кПа, температура газа в обеих частях одинакова, суммарный объём газа V0=0.43 м3. Определите:

Какое давление P1 установится в сосуде, если сообщить одной части газа количество теплоты Q1 = 2220 кДж. Считайте поршень теплонепроницаемым.
Каким будет это давление P2, если поршень проводит тепло.
После того, как одной части газа было сообщено количество теплоты Q1 (см. вопрос 2), в сосуде установилась некоторая температура. Какое количество теплоты Q2 необходимо ещё сообщить газу, чтобы эта температура увеличилась в 1.5 раза. Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента. Теплоёмкостью стенок сосуда и поршня можно пренебречь.

Pensamento

Confirming values and reasoning

I incorrectly coded earlier: Q1 is 2220 kJ, and Q2 is 1687 kJ, giving a ratio of about 0.76. Now, I want to ensure I’ve handled the units correctly (Pa vs kPa, J vs kJ). I’ll show the key steps in reasoning, since this is a typical physics problem. No external tool is needed here for solutions.

Clear step-by-step explanation

Let’s keep it straightforward. First, derive the total internal energy formula for the gas in terms of pressure and initial volume: $U = \frac{3}{2} nRT = \frac{3}{2} PV$ . Summing gives $U_{total} = \frac{3}{2} P V_0$ . Then, applying the first law: $Q_{total} = \Delta U_{total}$ .

For the piston’s behavior: In an adiabatic process, inputting $Q_1$ results in the total heat $Q_1 = \frac{3}{2} (P_1 - P_0) V_0$ . For conducting, conduction ensures uniform temperature without changing total energy, so $P_2 = P_1$ .

Ensuring consistency and assumptions

The energy conservation here is key, and it's physically obvious even if not trivial, separating conduction effects. After Stage 2, the gas reaches a uniform temperature $T_1$ , and its internal energy is updated to $U_1 = U_0 + Q_1$ . Adding $Q_2$ increases $T$ to ( 1.5T_

Thought for 1m 34s

Resposta

Сразу напишу ответы, а потом коротко поясню ход решения.

Ответы (с точностью лучше 1 %):

$P_1 \approx 5.23 \cdot 10^6\ \text{Па} \approx 5.23\ \text{МПа}$
$P_2 \approx 5.23 \cdot 10^6\ \text{Па} \approx 5.23\ \text{МПа}$ (то есть $P_2 = P_1$ )
$Q_2 \approx 1.69 \cdot 10^6\ \text{Дж} \approx 1.69 \cdot 10^3\ \text{кДж}$

1–2. Конечное давление $P_1$ и $P_2$

Газ одноатомный ⇒ внутренняя энергия каждой части:

U = \frac{3}{2} nRT = \frac{3}{2}PV.

Всего газа — две части, но давление везде одинаковое и суммарный объём постоянен:

U_{\text{общ}} = \frac{3}{2}P(V_1+V_2) = \frac{3}{2}PV_0.

Сосуд не меняет объём, внешней работы нет, работа через поршень — внутренняя (левая часть делает работу над правой и наоборот). Для всего газа:

Q_{\text{общ}} = \Delta U_{\text{общ}}.

Случай 1: поршень теплонепроницаем

Теплота $Q_1$ подводится только к одной части, но для всей системы:

Q_1 = \Delta U_{\text{общ}} = \frac{3}{2}(P_1 - P_0)V_0.

Отсюда

P_1 = P_0 + \frac{2Q_1}{3V_0}.

Подставим числа (в СИ):

$P_0 = 1.790 \cdot 10^6\ \text{Па}$ ,
$Q_1 = 2.220 \cdot 10^6\ \text{Дж}$ ,
$V_0 = 0.43\ \text{м}^3$ .

P_1 = 1.79\cdot10^6 + \frac{2\cdot 2.22\cdot10^6}{3\cdot0.43} \approx 5.23\cdot10^6\ \text{Па}.

Случай 2: поршень теплопроводен

Теперь тепло, внесённое в одну часть, может перетекать через поршень, и в конце температура одинакова в обеих частях.

Но для всего газа в сосуде уравнение то же самое:

внешней работы нет,
суммарное подведённое тепло всё равно $Q_1$ ,
внутренняя энергия всего газа по-прежнему $\frac{3}{2}PV_0$ .

Значит, для всего газа:

Q_1 = \frac{3}{2}(P_2 - P_0)V_0 \quad\Rightarrow\quad P_2 = P_0 + \frac{2Q_1}{3V_0}.

То есть

P_2 = P_1 \approx 5.23\cdot10^6\ \text{Па}.

Разница между случаями лишь в распределении энергии между половинами (и их температурами), но не в конечном давлении и не в общей энергии.

3. Дополнительное тепло $Q_2$ для увеличения температуры в 1.5 раза

Рассматриваем ситуацию из пункта 2: после подачи $Q_1$ через теплопроводный поршень установилась равновесная температура $T_1$ во всём сосуде.

Внутренняя энергия всего газа:

начальная: $U_0 = \frac{3}{2}P_0V_0,$
после подачи $Q_1$ : $U_1 = U_0 + Q_1.$

Для идеального газа $U \propto T$ . Если хотим увеличить температуру в 1.5 раза:

T_2 = 1.5 T_1 \quad\Rightarrow\quad U_2 = 1.5 U_1.

Требуемая дополнительная теплота:

Q_2 = U_2 - U_1 = (1.5U_1 - U_1) = 0.5U_1.

То есть

Q_2 = \frac{1}{2}(U_0 + Q_1) = \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}P_0V_0 + Q_1 \right).

Подставим числа:

U_0 = \frac{3}{2}P_0 V_0 = 1.5 \cdot 1.79\cdot10^6 \cdot 0.43 \approx 1.15\cdot10^6\ \text{Дж},

U_1 = U_0 + Q_1 \approx 1.15\cdot10^6 + 2.22\cdot10^6 \approx 3.37\cdot10^6\ \text{Дж},

Q_2 = 0.5 U_1 \approx 1.69\cdot10^6\ \text{Дж} \approx 1.69\cdot10^3\ \text{кДж}.

Если хочешь, могу отдельно нарисовать p–V или T–V схему процессов для наглядности.