Малыш приготовил печенья и пронумеровал их, написа...

Pergunta

Малыш приготовил печенья и пронумеровал их, написав глазурью числа от 2 до 30. После этого он сказал Карлсону, что за одну банку варенья тот может съесть печенье с каким-то числом. При этом если он уже съел какое-то печенье, то после этого он может бесплатно съесть все печенья, номера которого делятся либо являются делителями номера любого съеденного печенья. Какое наибольшее число печений может съесть Карлсон за одну банку варенья?

Pensamento

Understanding the cookie puzzle

Alright, so baby (Malysh) numbered cookies from 2 to 30 and told Karlsson he can eat one for a jar of jam. After eating one, he gets to eat all cookies whose numbers are divisible by or divisors of the eaten number — a cascading effect. This means the relationships between the cookies spread as he eats more.

Interpreting the cookie rule

The rule says you can freely eat cookies whose numbers are divisors or multiples of any previously eaten cookie. But does this include the free cookies too? It sounds like once you’ve eaten one and its related cookies, those free ones could unlock more possibilities, forming a kind of recursive chain of free cookies. This could span all numbers under the divisibility relation.

Clarifying the divisibility rule

If you eat a cookie numbered n, you can eat all the numbers connected to it through divisibility — both divisors and multiples. And while divisibility itself isn't an equivalence relation, it forms a partial order. Essentially, you'll keep connecting to all divisibility neighbors, forming an expanding set of cookies.

Exploring divisibility connections

Once you include the divisors and multiples of any new number, it might connect to more numbers that weren’t directly related to the starting number. This leads to a connected component in a divisibility graph, but the graph on [2..30] isn't fully connected initially. However, primes only connect to their multiples, which can connect other components. I’ll test whether all numbers from 2 to 30 are eventually linked.

Understanding the divisibility graph

The rule allows you to freely eat all numbers connected by divisibility to any eaten cookie. Since the divisibility chain propagates, the question asks which starting cookie gives you the largest connected set. Essentially, we need to find the largest connected component in the divisibility graph for numbers from 2 to 30. This will give the answer.

Finding the largest connected component

It looks like the largest connected group in the divisibility graph consists of numbers 2 through 30, minus the isolated primes larger than 15 like 17, 19, 23, and 29. These primes, not sharing any divisors or multiples within this range, isolate themselves. Counting the rest, the maximum number of cookies Karlsson can eat is 25.

Maximizing the cookies

The connected component includes all numbers except 17

Thought for 2m 40s

Resposta

25 печений.

Почему:

После оплаты за одно число Карлсон “подтягивает” все его делители и кратные; для каждого из них правило снова действует. Значит, он съедает всю связную компоненту графа делимости на числах 2…30.
Если заплатить, например, за 6, то сразу берутся 2 и 3 (делители 6) и все их кратные ≤30. Через них подтягиваются остальные простые с кратными в диапазоне:
5 (через 10 или 15), 7 (через 14 или 21), 11 (через 22), 13 (через 26), а вместе с ними и их составные (9, 12, 18, 20, 25, 27, 28, 30 и т.д.).
Единственные “изолированные” в [2;30] — простые 17, 19, 23, 29: у них нет кратных в диапазоне, а делители, кроме 1, отсутствуют (1 нет среди печений). Их нельзя получить бесплатно, если за них не заплатить.

Всего печений 29 (с 2 по 30), минус 4 изолированных = 25.