построй функцию наилучшее приближение функции f(x)...

Question

построй функцию наилучшее приближение функции f(x) = sin(pi * x) в конечномерном подпространстве K гильбертова пространства интегрируемых с квадратом функций определённых на отрезке от минус 1 до 1 в котором скалярное произведение определено как интеграл от минус 1 до 1, где K класс многочленов степени не выше 4

Answer 1

Для построения наилучшего приближения функции $f(x) = \sin(\pi x)$ в подпространстве многочленов степени не выше 4 с заданным скалярным произведением, необходимо решить задачу ортогональной проекции.

Шаги решения:

Определение пространства и задачи:
Пусть $K$ — пространство многочленов степени не выше 4. Нам нужно найти многочлен $p(x) \in K$ , минимизирующий норму:

\|f(x) - p(x)\|^2 = \int_{-1}^{1}\left(\sin(\pi x) - p(x)\right)^2 dx \rightarrow \min.

Ортогональность:
Условие минимизации эквивалентно ортогональности ошибки приближения $f(x)-p(x)$ к любому многочлену степени не выше 4. То есть:

\int_{-1}^{1} (\sin(\pi x) - p(x)) x^k\,dx = 0,\quad k = 0,1,2,3,4.

Построение и решение системы:
Получается система из 5 линейных уравнений относительно коэффициентов многочлена $p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4$ :

\begin{cases} \int_{-1}^{1} (\sin(\pi x) - p(x)) \,dx = 0,\\[6pt] \int_{-1}^{1} (\sin(\pi x) - p(x)) x \,dx = 0,\\[6pt] \int_{-1}^{1} (\sin(\pi x) - p(x)) x^2 \,dx = 0,\\[6pt] \int_{-1}^{1} (\sin(\pi x) - p(x)) x^3 \,dx = 0,\\[6pt] \int_{-1}^{1} (\sin(\pi x) - p(x)) x^4 \,dx = 0. \end{cases}

Отсюда легко находится система относительно коэффициентов $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ :

\begin{aligned} a_0 \int_{-1}^{1} x^k\,dx + a_1 \int_{-1}^{1} x^{k+1}\,dx + a_2 \int_{-1}^{1} x^{k+2}\,dx + a_3 \int_{-1}^{1} x^{k+3}\,dx + a_4 \int_{-1}^{1} x^{k+4}\,dx &= \int_{-1}^{1}\sin(\pi x) x^k\,dx,\\[6pt] \text{где}\quad k &= 0,1,2,3,4. \end{aligned}

Реализация на Python:
Вот простая функция, вычисляющая наилучшее приближение:

python
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from numpy.polynomial import Polynomial

def best_poly_approximation(f, degree, interval=(-1, 1)):
    # Создание матрицы и вектора правых частей
    A = np.zeros((degree+1, degree+1))
    b = np.zeros(degree+1)

    # Заполнение матрицы и вектора
    for i in range(degree+1):
        for j in range(degree+1):
            A[i, j], _ = quad(lambda x: x**(i+j), interval[0], interval[1])
        b[i], _ = quad(lambda x: f(x) * x**i, interval[0], interval[1])

    # Решение линейной системы
    coeffs = np.linalg.solve(A, b)

    return Polynomial(coeffs)

# Функция для приближения
f = lambda x: np.sin(np.pi * x)

# Вычисляем многочлен степени 4
poly = best_poly_approximation(f, 4)

# Вывод коэффициентов
print(poly)

Эта функция вернёт многочлен с коэффициентами, наилучшим образом приближающий исходную функцию в заданном подпространстве многочленов степени не выше 4.

построй функцию наилучшее приближение функции f(x)...

Pergunta

Resposta

Compartilhar esta Q&A