请问swap rate的动态如何推导，assume我基础不够扎实，请walk me through ...
Criado em: 19 de maio de 2025
Pergunta
请问swap rate的动态如何推导，assume我基础不够扎实，请walk me through the derivation
Pensamento
Resposta
下面按“从 0 开始”的思路，把 ATM 掉期利率 的随机微分方程一步一步推出来。为了方便阅读，我把关键结论都写在灰底框里，推导放在后面的小节里；如果哪一步想再深挖，可以随时告诉我。
1 先把对象写清楚
| 记号 | 含义 |
|---|---|
| 固定腿付息（也就是浮动腿重设）的日期 | |
| 第 个现金流的利息区间 | |
| 折现因子 | time- 价内、到期 的零息债价格 |
| 年金因子 | 固定腿未来现金流的折现现值 |
| 掉期（固定）利率 $$ | |
| R_{m,n}(t)=\frac{P(t,T_m)-P(t,T_n)}{A_{m,n}(t)} |
\frac{R_{m,n}(t)}{A_{m,n}(t)} ;\text{是一价差，}; \Longrightarrow; R_{m,n}(t)\ \text{在}\ Q^{A}\ \text{下 drift}=0
> **结论 ①（年金测度下）** > $$ > dR_{m,n}(t)=R_{m,n}(t)\,\gamma_{m,n}(t)\;dW^{A}_t . > $$ > 这里的 $\gamma_{m,n}(t)$ 是后面要写出的“有效波动率”，$W^{A}$ 是年金测度下的布朗运动。 --- ## 3 把波动率 $\gamma_{m,n}(t)$ 写出来 1. 每个零息债 $P(t,T_k)$ 的风险中性动力学先设为\frac{dP(t,T_k)}{P(t,T_k)} = -r_t,dt-\sigma_k(t)\cdot dW_t .
2. 对固定腿每一段对应的 **前向利率** $L_k(t)$ 设dL_k(t)=L_k(t),\Sigma(t,\Delta\tilde T_k),dW_t + \dots
R_{m,n}(t)= \frac{P(t,T_m)-P(t,T_n)}{A_{m,n}(t)}
\gamma_{m,n}(t) =\frac{1}{R_{m,n}(t)}\sum_{k=m+1}^{n}\alpha_k,\Sigma(t,\Delta\tilde T_k), \qquad \boxed{\alpha_k=\frac{\Delta\tilde T_k,P(t,T_k)}{\sum_{j=m+1}^{n}\Delta\tilde T_j,P(t,T_j)}} .
这说明 **$\alpha_k$** 正好是固定腿现金流在年金里的“折现权重”，权重之和为 1。 --- ## 4 回到风险-中性测度 $Q$ 从 $Q^{A}$ 切换到 $Q$（基准 numeraire 改为贴现账户 $B_t$）需用 Girsanov：dW_t^{A}=dW_t-\lambda_{A\to Q}(t),dt .
对 $R_{m,n}$ 而言，这个漂移校正项正是\Sigma_{m,n}(t)=\sum_{k=m+1}^{n}\alpha_k,\Sigma(t,\Delta\tilde T_k).
> **结论 ②（风险-中性测度下）** > $$ > \boxed{ > dR_{m,n}(t)=R_{m,n}(t)\,\gamma_{m,n}(t)\Bigl(dW_t-\Sigma_{m,n}(t)\,dt\Bigr) > } \tag{37} > $$ > 其中 > $$ > \boxed{\Sigma_{m,n}(t)=\sum_{k=m+1}^{n}\alpha_k\,\Sigma(t,\Delta\tilde T_k)} \tag{38} > $$ 这正是你截图里的式 (37)–(38)。 - **直观含义**： - 在“自己最合适”的年金测度里，掉期利率只剩“波动”没有漂移； - 换回风险中性世界后，多了一块 **$-\Sigma_{m,n}(t)dt$** 的漂移补偿项。 - **$\Sigma_{m,n}(t)$** 其实就是 **固定腿各前向利率波动率的加权平均**；权重就是对应现金流在年金中的比例 $\alpha_k$。 --- ## 5 回顾一下推导脉络 1. **写清定价对象**：用零息债把 $R_{m,n}(t)$ 表成“差/和”。 2. **选 numeraire**：让它的贴现值天然成鞅 → 选年金因子。 3. **计算 Itô 微分**：在这个测度下漂移 = 0，得到波动率表达式。 4. **测度变换**：Girsanov 加一个漂移，把结果带回风险-中性测度。 这一套思路几乎贯穿了利率衍生品 Black-type 模型（Caps/Floors、Swaptions、CMS 等）的“标准套路”。一旦理解了“**选一个让标的变鞅的 numeraire，然后再变回来**”，很多看似复杂的公式都会迎刃而解。 --- ### 进一步阅读／练习建议 - **Brigo & Mercurio – *Interest Rate Models – Theory and Practice*** 第 4-5 章完整推导了 Cap/Floor 和 Swaption 的 Black-type 公式。 - **F. Black – “The Pricing of Commodity Contracts” (1976)** 虽然讲的是大宗商品，但最早提出“forward = lognormal → Black 公式”的原版思路。 - 试着自己动手： 1. 把波动率假设成常数，验证 Black-76 的闭式价格； 2. 换成 Hull-White 或 LMM（Libor Market Model），看看 $\gamma_{m,n}(t)$ 怎么写。 如果某一步仍觉得跳得太快，或者想把公式拆得更细，随时告诉我！Pergunta
请重新输出一遍，刚刚格式不对
Pensamento
Resposta
下面把掉期利率 的随机微分方程 (SDE) 重新排版输出，一步一节，方便你复制/查看。整篇分 5 步：先定义对象 → 选好标尺（numeraire）→ 推 Itô 微分 → 测度切换 → 小结。若仍有排版问题，直接告诉我！
1. 记号与基本定义
| 记号 | 含义 |
|---|---|
| 掉期重设/付息日期 | |
| 第 个利息区间 | |
| time‑ 零息债价（到期 ） | |
| 年金因子 | |
| ATM 掉期固定利率 | $$ |
| R_{m,n}(t)=\frac{P(t,T_m)-P(t,T_n)}{A_{m,n}(t)} |
\frac{R_{m,n}(t)}{A_{m,n}(t)}\quad\text{在 }Q^{A}\text{ 下为鞅};\Longrightarrow; \text{漂移}=0 .
> **年金测度下的 SDE** > $$ > dR_{m,n}(t)=R_{m,n}(t)\,\gamma_{m,n}(t)\,dW^{A}_t . > $$ --- ## 3. 计算波动率 $\gamma_{m,n}(t)$ 1. 每条零息债在风险中性测度 $Q$ 下设\frac{dP(t,T_k)}{P(t,T_k)}=-r_t,dt-\sigma_k(t)\cdot dW_t .
2. 对每条 **前向利率** $L_k(t)$ 写dL_k(t)=L_k(t),\Sigma!\bigl(t,\Delta\tilde T_k\bigr),dW_t+\dots
R_{m,n}(t)=\frac{P(t,T_m)-P(t,T_n)}{A_{m,n}(t)}
\boxed{; \gamma_{m,n}(t)=\frac{1}{R_{m,n}(t)}\sum_{k=m+1}^{n}\alpha_k,\Sigma!\bigl(t,\Delta\tilde T_k\bigr) ;}, \qquad \boxed{; \alpha_k=\frac{\Delta\tilde T_k,P(t,T_k)}{\sum_{j=m+1}^{n}\Delta\tilde T_j,P(t,T_j)} ;} .
- $\alpha_k$ 是固定腿第 $k$ 期现金流在年金里的 **折现权重**，满足 $\sum_{k=m+1}^{n}\alpha_k=1$。 --- ## 4. 从年金测度回到风险‑中性测度 $Q$ Girsanov 变换：dW_t^{A}=dW_t-\underbrace{\Sigma_{m,n}(t)}{\text{漂移补偿}},dt, \quad \Sigma{m,n}(t)=\sum_{k=m+1}^{n}\alpha_k,\Sigma!\bigl(t,\Delta\tilde T_k\bigr).
> **风险‑中性测度下最终公式** > $$ > \boxed{% > dR_{m,n}(t)=R_{m,n}(t)\,\gamma_{m,n}(t)\Bigl(dW_t-\Sigma_{m,n}(t)\,dt\Bigr) > } \tag{37} > $$ > 其中 > $$ > \boxed{\; > \Sigma_{m,n}(t)=\sum_{k=m+1}^{n}\alpha_k\,\Sigma\!\bigl(t,\Delta\tilde T_k\bigr) > \;} \tag{38} > $$ --- ## 5. 思路回顾 1. **写出掉期利率的“差/和”表达** 2. **选 numeraire** 让贴现值成鞅 → 漂移 0 3. **Itô** → 给出 $\gamma_{m,n}(t)$ 4. **Girsanov** → 加上 $-\Sigma_{m,n}(t)dt$ 漂移回 $Q$ > 关键记忆： > - **选鞅测度** → “漂移归零”好算波动率 > - **测度切换** → “补回漂移”得风险‑中性 SDE --- ### 📚 推荐阅读 & 练习 - **Brigo & Mercurio, _Interest Rate Models – Theory and Practice_**, Ch. 4–5 - F. Black (1976), “The Pricing of Commodity Contracts” - 练习： 1. 假设 $\gamma_{m,n}$ 常数 → 推 Black‑76 闭式价 2. 改成 Hull‑White 或 LMM，写出对应 $\gamma_{m,n}(t)$ --- 如有进一步问题，或想把某一步算得更细、举数值例子，随时告诉我！