Salut Chat Gpt, je veux que tu me créé une fiche e...

Voici un squelette LaTeX « fiche de primitives par changement de variable » que tu peux copier/coller directement dans Overleaf.
(N’hésite pas à ajuster l’en‑tête ou les couleurs pour coller encore plus au style exact de ton PDF “Dev limité Bastien”.)

latex
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{framed}
\usepackage{tikz}

% Mises en page et entête
\geometry{margin=2cm}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\textbf{Mathématiques}}
\rhead{\textbf{Fiche – Intégration (changement de variable)}}
\cfoot{\thepage}

% Abréviations utiles
\newcommand{\Int}{\displaystyle\int}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}

\begin{document}

\begin{center}
  {\LARGE\bfseries Fiche : Primitives par changement de variable}\$$0.4em]
  {\small (inspirée du style « Dev limité Bastien »)}
\end{center}
\vspace{0.5em}

%------------ 1 --------------
\begin{framed}
\noindent\textbf{1.}\quad $\Int e^{2x}\,\dd x$\\[0.3em]
\textit{Substitution} : $u = 2x \;\Longrightarrow\; \dd u = 2\,\dd x$.\\[-0.4em]
\[
\Int e^{2x}\,\dd x
  = \frac12 \Int e^{u}\,\dd u
  = \frac12 e^{u}+C
  = \boxed{\dfrac{e^{2x}}{2}+C}.
$$
\end{framed}

%------------ 2 --------------
\begin{framed}
\noindent\textbf{2.}\quad $\Int e^{2x}\,\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)\,\dd x$\$$0.3em]
\textit{Substitution} : $u = \dfrac{e^{x}}{2}\ \Longrightarrow\ \dd x = \dfrac{\dd u}{u}$ et $e^{2x} = (2u)^2 = 4u^{2}$.\\[-0.4em]
\[
\Int e^{2x}\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)\,\dd x
  = 4\Int u\sin u\,\dd u
  = 4\bigl(-u\cos u + \sin u\bigr)+C.
$$
En revenant à $x$ :
$$
\boxed{-2e^{x}\cos\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)
       + 4\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)+C }.
$$
\end{framed}

%------------ 3 --------------
\begin{framed}
\noindent\textbf{3.}\quad $\Int\dfrac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,\dd x$\$$0.3em]
\textit{Substitution} : $u = x^{2}+2x+3 \;\Longrightarrow\; \dd u = (2x+2)\,\dd x = 2(x+1)\,\dd x$.\\[-0.4em]
\[
\Int\dfrac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,\dd x
  = \tfrac12\Int \dfrac{\dd u}{u}
  = \tfrac12\ln|u|+C
  = \boxed{\dfrac12\ln\!\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)+C }.
$$
\end{framed}

%------------ 4 --------------
\begin{framed}
\noindent\textbf{4.}\quad
$\Int \dfrac{\cos(2x)}{\sqrt{\,2+\sin(2x)\,}}\;\dd x$\$$0.3em]
\textit{Substitution} : $u = 2+\sin(2x)\ \Longrightarrow\ \dd u = 2\cos(2x)\,\dd x$.\\[-0.4em]
\[
\Int \dfrac{\cos(2x)}{\sqrt{2+\sin(2x)}}\,\dd x
  = \tfrac12\Int \dfrac{\dd u}{\sqrt{u}}
  = \sqrt{u}+C
  = \boxed{\sqrt{\,2+\sin(2x)\,}+C }.
$$
\end{framed}

\end{document}

Colle ce code dans un nouveau projet Overleaf ; tout doit compiler sans souci et tu obtiens une fiche propre, prête à imprimer ou partager.

Voici une fiche entièrement refaite — l’en‑tête, le titre et les encadrés ne mentionnent plus « Intégration », uniquement le changement de variable.
Tu peux la copier‑coller telle quelle dans Overleaf ; elle compile seule.

latex
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{framed}

% Mise en page et en-têtes
\geometry{margin=2cm}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\textbf{Mathématiques}}
\rhead{\textbf{Fiche – Changement de variable}}
\cfoot{\thepage}

% Abréviations
\newcommand{\Int}{\displaystyle\int}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}

\begin{document}

\begin{center}
  {\LARGE\bfseries Fiche : Changement de variable pour les primitives}
\end{center}
\vspace{0.5em}

\noindent
Chaque encadré rappelle :
$$
\text{variable : } u = g(x), \quad
\dd u = g'(x)\,\dd x, \quad
\Int f(x)\,\dd x = \Int f\bigl(g^{-1}(u)\bigr)\dfrac{\dd u}{g'(g^{-1}(u))}.
$$

%------------ 1 --------------
\begin{framed}
\noindent\textbf{1.}\quad $\Int e^{2x}\,\dd x$\$$0.3em]
\emph{Changement de variable} : $u = 2x \ \Longrightarrow\ \dd u = 2\,\dd x \;\;( \dd x = \tfrac{\dd u}{2})$.\\[-0.4em]
\[
\Int e^{2x}\,\dd x
  \;=\; \tfrac12\Int e^{u}\,\dd u
  \;=\; \boxed{\dfrac{e^{2x}}{2}+C}.
$$
\end{framed}

%------------ 2 --------------
\begin{framed}
\noindent\textbf{2.}\quad $\Int e^{2x}\,\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)\,\dd x$\$$0.3em]
\emph{Changement de variable} : $u = \dfrac{e^{x}}{2}\ \Longrightarrow\ e^{x} = 2u,\ \dd x = \dfrac{\dd u}{u}$\\[-0.4em]
\[
e^{2x} = (2u)^{2}=4u^{2}\quad\Longrightarrow\quad
\Int e^{2x}\!\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)\,\dd x
      = 4\Int u\sin u\,\dd u
      = 4\bigl(-u\cos u + \sin u\bigr)+C.
$$
En revenant à $x$ :
$$
\boxed{-2e^{x}\cos\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)
       + 4\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)+C }.
$$
\end{framed}

%------------ 3 --------------
\begin{framed}
\noindent\textbf{3.}\quad $\Int\dfrac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,\dd x$\$$0.3em]
\emph{Changement de variable} : $u = x^{2}+2x+3 \ \Longrightarrow\ \dd u = 2(x+1)\,\dd x$\\[-0.4em]
\[
\Int\dfrac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,\dd x
  = \tfrac12\Int \dfrac{\dd u}{u}
  = \boxed{\dfrac12\ln\!\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)+C }.
$$
\end{framed}

%------------ 4 --------------
\begin{framed}
\noindent\textbf{4.}\quad
$\Int \dfrac{\cos(2x)}{\sqrt{\,2+\sin(2x)\,}}\;\dd x$\$$0.3em]
\emph{Changement de variable} : $u = 2+\sin(2x)\ \Longrightarrow\ \dd u = 2\cos(2x)\,\dd x$\\[-0.4em]
\[
\Int \dfrac{\cos(2x)}{\sqrt{2+\sin(2x)}}\,\dd x
  = \tfrac12\Int \dfrac{\dd u}{\sqrt{u}}
  = \boxed{\sqrt{\,2+\sin(2x)\,}+C }.
$$
\end{framed}

\end{document}

Bonne compilation !

Voici une fiche plus détaillée, avec une définition simple et “classique” du changement de variable placée dans un encadré clair, suivie de tes quatre exemples entièrement expliqués pas‑à‑pas.
Copie‑colle le code LaTeX ci‑dessous dans Overleaf ; il se compile sans autre fichier.

latex
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{tcolorbox}   % jolies boîtes
\tcbuselibrary{skins, breakable}

%–– Mise en page
\geometry{margin=2cm}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\textbf{Mathématiques}}
\rhead{\textbf{Fiche – Changement de variable}}
\cfoot{\thepage}

%–– Abréviations
\newcommand{\Int}{\displaystyle\int}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}

%–– Style de boîte « Dev limité Bastien »
\newtcolorbox{exo}[1][]{%
  enhanced,
  breakable,
  colback=gray!6,
  colframe=black,
  boxrule=0.4pt,
  arc=3pt,
  left=4pt,
  right=4pt,
  top=4pt,
  bottom=4pt,
  title=#1}

\begin{document}

\begin{center}
  {\LARGE\bfseries Fiche : Changement de variable (primitives)}
\end{center}
\vspace{0.8em}

%==========================================================
%  Définition / méthode (simple et « la plus connue »)
%==========================================================
\begin{tcolorbox}[
  enhanced, colback=white, colframe=black, boxrule=0.6pt, arc=2pt,
  title=\textbf{Méthode (changement de variable « classique »)}]
Soit une intégrale de la forme\; $\displaystyle \Int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,\dd x$.

\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{0.3em}
  \item \textbf{Choisir la nouvelle variable} : $u = g(x)$
  \item \textbf{Différencier} : $\dd u = g'(x)\,\dd x \;\;\Longrightarrow\;\; \dd x = \dfrac{\dd u}{g'(x)}$
  \item \textbf{Remplacer} dans l’intégrale :
        $\displaystyle \Int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,\dd x
        = \Int f(u)\,\dd u$
  \item \textbf{Intégrer} puis \textbf{revenir} à la variable $x$.
\end{enumerate}

\emph{Astuce :} si un facteur « manque » ou est « en trop », on l’ajuste avec une constante devant l’intégrale (voir les exemples).
\end{tcolorbox}

\vspace{1em}

%==========================================================
%  Exemple 1
%==========================================================
\begin{exo}[Exemple 1 : $\displaystyle\Int e^{2x}\,\dd x$]
\textbf{1.} Posons $u = 2x$.  
\textbf{2.} Alors $\dd u = 2\,\dd x \;\;\Longrightarrow\;\; \dd x = \dfrac{\dd u}{2}$.  

\textbf{3.} Substitution :
$$
\Int e^{2x}\,\dd x
  = \Int e^{u}\,\frac{\dd u}{2}
  = \tfrac12\Int e^{u}\,\dd u.
$$

\textbf{4.} Intégration puis retour à $x$ :
$$
\tfrac12 e^{u}+C
  = \boxed{\dfrac{e^{2x}}{2}+C}.
$$
\end{exo}

%==========================================================
%  Exemple 2
%==========================================================
\begin{exo}[Exemple 2 : $\displaystyle\Int e^{2x}\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)\,\dd x$]
\textbf{1.} Posons $u = \dfrac{e^{x}}{2} \Longrightarrow e^{x}=2u$.  

\textbf{2.} On a $\dd x = \dfrac{\dd u}{u}$ et \ $e^{2x} = (2u)^{2}=4u^{2}$.

\textbf{3.} Substitution :
$$
\Int e^{2x}\,\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)\,\dd x
  = 4\Int u^{2}\sin u\,\frac{\dd u}{u}
  = 4\Int u\sin u\,\dd u.
$$

\textbf{4.} Intégration par parties rapide (\,$\Int u\sin u\,\dd u = -u\cos u + \sin u$\,) :
$$
4\bigl(-u\cos u + \sin u\bigr)+C.
$$

\textbf{5.} Retour à $x$ ($u=\tfrac{e^{x}}{2}$) :
$$
\boxed{-2e^{x}\cos\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)
       \;+\; 4\sin\!\bigl(\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)\;+\;C }.
$$
\end{exo}

%==========================================================
%  Exemple 3
%==========================================================
\begin{exo}[Exemple 3 : $\displaystyle\Int\dfrac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,\dd x$]
\textbf{1.} Posons $u = x^{2}+2x+3$.  

\textbf{2.} Alors $\dd u = 2(x+1)\,\dd x \Longrightarrow (x+1)\,\dd x = \dfrac{\dd u}{2}$.

\textbf{3.} Substitution :
$$
\Int\dfrac{x+1}{x^{2}+2x+3}\,\dd x
  = \Int \frac{\dd u}{2u}
  = \tfrac12\Int \frac{\dd u}{u}.
$$

\textbf{4.} Intégration puis retour à $x$ :
$$
\tfrac12\ln|u|+C
  = \boxed{\dfrac12\ln\!\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)+C }.
$$
\end{exo}

%==========================================================
%  Exemple 4
%==========================================================
\begin{exo}[Exemple 4 : $\displaystyle\Int \dfrac{\cos(2x)}{\sqrt{2+\sin(2x)}}\,\dd x$]
\textbf{1.} Posons $u = 2+\sin(2x)$.  

\textbf{2.} On a $\dd u = 2\cos(2x)\,\dd x \Longrightarrow \cos(2x)\,\dd x = \dfrac{\dd u}{2}$.

\textbf{3.} Substitution :
$$
\Int \frac{\cos(2x)}{\sqrt{2+\sin(2x)}}\,\dd x
  = \Int \frac{\dd u}{2\sqrt{u}}
  = \tfrac12\Int u^{-1/2}\,\dd u.
$$

\textbf{4.} Intégration puis retour à $x$ :
$$
\tfrac12\cdot 2u^{1/2}+C
  = \sqrt{u}+C
  = \boxed{\sqrt{\,2+\sin(2x)\,}+C }.
$$
\end{exo}

\end{document}

Pourquoi c’est “plus simple et plus clair” ?

• Le cadre « Méthode » rappelle en langage courant le changement de variable le plus répandu
  $\bigl(\Int f(g(x))\,g'(x)\,\dd x\bigr)$ ;
• Chaque exemple suit exactement les \textbf{4 étapes} (choix de $u$, calcul de $\dd u$, substitution, intégration, retour) ;
• Les constantes manquantes sont expliquées (par les facteurs $\tfrac12$ ou $4$) ;
• Les encadrés reprennent le style “Dev limité Bastien” : bords fins, fond gris léger, marges courtes.

Tu peux bien sûr modifier les couleurs ou la police si tu veux coller encore plus à ton PDF d’origine.
Bonne révision !