На бесконечных параллельных сверхпроводящих рельса...

Criado em: 19 de fevereiro de 2025

Respondido usando O1 por Chat01

Pergunta

На бесконечных параллельных сверхпроводящих рельсах, расстояние между которыми равно L=0,5
м, лежит массивный сверхпроводящий стержень. Рельсы соединены при помощи последовательно соединённого источника ЭДС E
и резистора R=100
Ом. Система находится в однородном магнитном поле B=4
мТл, перпендикулярном плоскости рисунка. После начала движения установившаяся скорость стержня равна v1=500
м/с. Самоиндукцией проводов и стержня пренебречь.

Определите ЭДС источника. Ответ дайте в В с точностью до целых.

Стержень останавливают и возвращают в исходное положение. В состоянии покоя к нему начинают прикладывать силу F=2
Н, направленную вправо.

Какова была скорость v2
стержня в момент, когда скорость изменения кинетической энергии стержня впервые была равна мгновенной мощности, выделяющейся на резисторе? Ответ дать в м/c с точностью до десятых.

Pensamento

Assessing the setup

I’m examining a superconducting rod on rails, forming a circuit with a resistor and an EMF source, under a uniform magnetic field, with a final velocity of 500 m/s.

Determining net voltage

I’m working through the steady velocity of 500 m/s, noting the rod's magnetic force and induced motional EMF, leading to the net voltage across the circuit components.

Analyzing current dynamics

I’m thinking through the circuit's current and magnetic force direction, ensuring alignment with the rod's velocity and magnetic field orientation, and defining motion and magnetic interactions clearly.

Clarifying the setup

I’m picturing the parallel rails, with the rod sliding along them, a magnetic field perpendicular to the plane, and a superconductor rod with no internal resistance.

Analyzing force dynamics

Hm, that's interesting. The steady velocity suggests no external force or friction acts on the rod, with net force balanced by the interplay between current-driven emf and the source emf.

Mapping the velocity

I’m establishing that for steady velocity, the net magnetic force on the rod equals zero, leading to the solution E = B L v.

Calculating the voltage

I determined E to be 1 volt to achieve a steady velocity of 500 m/s. No external force or friction is noted, suggesting the net magnetic force must be zero.

Balancing magnetic dynamics

Considering motional emf opposing the source EMF to balance the rod's weight and resistive forces, ensuring steady velocity with no net force or friction.

Calculating the EMF

I confirmed the EMF to be 1 volt, ensuring the current and net magnetic force are balanced for steady velocity. No further acceleration or deceleration is needed.

Exploring power and velocity

I’m considering how the rod's velocity is influenced by the resistor's power dissipation and exploring the role of the rod's mass in this dynamic process.

Piecing together dynamics

I’m working through the rod's kinetic energy changes, using the net external and magnetic forces, and calculating the magnetic force on the rod with current and magnetic field parameters.

Examining forces

I’m investigating the net force experienced by the rod, factoring in the external force and the magnetic force, and determining the direction of these forces to understand the rod's movement dynamics.

Analyzing net force

Interestingly enough, the net force approaches 2 N for typical velocities, but it's essential to view the kinetic energy change and resistor power dissipation simultaneously for accurate results.

Taking a closer look

I’m figuring out the mechanical power transferred to the rod, using net force times velocity. Also, calculating the resistor's power dissipation with the voltage across it.

Aligning forces and power

I’m aligning the net force times velocity with power dissipation, expressing roles in kinetic energy rate changes and resistor power. This ensures fluid compatibility across all terms.

Calculating forces

I’m gathering info on force, rod length, magnetic field, and resistor constants. Then, calculating current and magnetic force, ensuring consistency across all parameters for precise results.

Aligning parameters

I’m mapping out the net force with velocity and power dissipation, expanding both sides to ensure the equation aligns perfectly without approximations.

Piecing it together

I’m organizing the terms, which interestingly enough cancels out the 4e-8 v^2 terms on both sides, reducing the equation to a simpler form. Progress is steady and clear.

Revisiting velocity

OK, let me see: with a net force nearing 2 N, a velocity of 0.005 m/s feels off. Checking if F_net * v equals dK/dt for a more precise calculation.

Figuring out force balance

I'm focusing on the net mechanical power input, combining external push and magnetic force, both times velocity. This clarifies the rod's energy dynamics for better analysis.

Laying out the options

Taking a closer look at forces and energy dissipation, ensuring the net mechanical power aligns with the rod's kinetic energy change and power in the resistor.

Balancing forces

Taking a closer look at the equation, simplifying the terms reveals how the net power from mechanical forces balances with energy dissipation, leading to a surprisingly small velocity.

Laying out options

I'm thinking about the rod's acceleration phase and synchronizing external forces with resistor power loss, suggesting a richer mix of forces to ensure accurate energy balance.

Making a note

I'm piecing together how the magnetic force's work aligns with the overall energy dynamics, ensuring the external power input is balanced by resistor power dissipation for a consistent approach.

Honing the equation

OK, let’s balance net mechanical power with resistor power dissipation. This means matching the rod's acceleration change to the resistor's power loss, ensuring accuracy in the calculations.

Confirming the solution

OK, after confirming the values and simplifying, the terms align perfectly. This leads to the same calculation for the velocity, confirming the consistency of the solution.

Reassessing velocity conditions

Checking velocity patterns reveals intriguing movements. The initial velocity is ruled out, but the minute velocity of 0.005 m/s demands further scrutiny to ensure it meets the criteria.

Spotting the unique solution

OK, let me see. After digging into the polynomial form, it appears only one viable velocity solution stands out: approximately 0.005 m/s. No additional solutions are considered.

Figuring out the answer

I'm thinking the question subtly nudges for 0.0 m/s, given normal rounding practices. This leads me to reflect on conventional rounding conventions and their implications.

Connecting concepts

I'm mapping out how the rod's velocity and kinetic energy align with power dissipation, confirming the solution is around 0.005 m/s, even with minor variances in net force.

Examining possibilities

I'm focused on determining the correct rounding for velocity to one decimal place, considering the problem's constraints. This highlights the practical significance of accurate calculations and potential nuances.

Identifying the crossing

OK, let me see. The net force and resistor power curves intersect at about 0.005 m/s. This confirms just one crossing as velocity increases.

Weighing options

I'm considering standard rounding at 0.005, which leads to 0.0 m/s. Alternatively, interpreting the problem in cm/s gives 0.5 cm/s.

Weighing rounding methods

I'm gathering info on "round half to even" and "round half away from zero." This hints at the nuances of rounding and its effects on the final answer.

Taking a closer look

I'm considering the typical rounding at 0.005 being rounded to 0.0 or 0.1. There's a hint towards rounding to the nearest tenth, which is intriguing.

Reasoned for 3m 31s

Resposta

Разбор задачи

Первая часть: определение ЭДС источника $E$ .

По условию, при установившейся скорости стержня $v_1=500\text{ м/с}$ ток в цепи таков, что сила на стержень равна нулю (иначе стержень разгонялся бы или тормозился).
- Мощность самоиндукции пренебрежимо мала, внутреннее сопротивление рельс и стержня равно нулю.
- Единственное сопротивление в цепи – это $R=100\,\Omega$ .
- Ширина между рельсами $L=0{,}5\text{ м}$ .
- Магнитное поле $B=4\text{ мТл}=4\times 10^{-3}\text{ Тл}$ .
При движении стержня со скоростью $v$ в однородном поле $B$ возникает двигательная (индукционная) ЭДС
$\mathcal{E}_{\text{инд}} = B\,L\,v.$
Ток в цепи (если считать положительным направлением ток от источника через стержень) будет
$I = \frac{E - B\,L\,v}{R}.$
Сила Ампера (магнитная) на стержень:
$F_{m} \;=\; I\,L\,B \;=\; \frac{(E - B\,L\,v)\,L\,B}{R}.$
В установившемся режиме $F_{m}=0$ . Следовательно,
$E - B\,L\,v_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad E = B\,L\,v_1.$
Подставляя числа:
$B = 4\times 10^{-3}\,\text{Тл}, \quad L=0{,}5\,\text{м}, \quad v_1=500\,\text{м/с},$
получаем
$E \;=\; 4\times 10^{-3}\,\times\,0{,}5\,\times\,500 \;=\; 1\,\text{В}.$
Таким образом,
$\boxed{E \approx 1\,\text{В}.}$
Вторая часть: скорость $v_2$ , при которой $\tfrac{dK}{dt}$ впервые равна мощности, выделяющейся на резисторе.

Стержень возвращают в начальное положение и удерживают в покое. Затем начинают тянуть стержень вправо постоянной силой $F=2\,\text{Н}$ . Нужно найти скорость $v_2$ в тот момент, когда
$\frac{dK}{dt} \;=\; P_R,$
где
- $\displaystyle \frac{dK}{dt}$ — скорость изменения кинетической энергии стержня,
- $P_R = I^2\,R$ — мгновенная мощность, рассеиваемая на резисторе.
а) Скорость изменения кинетической энергии стержня.
Если пренебречь трением, единственные силы по горизонтали — внешняя сила $F$ (вправо) и магнитная сила $F_m$ (влево).
Тогда результирующая сила
$F_{\text{net}} \;=\; F - F_m.$
Мощность, с которой эта результирующая сила «передаёт» энергию стержню (то есть $\tfrac{dK}{dt}$ ), равна
$\frac{dK}{dt} \;=\; F_{\text{net}}\cdot v \;=\; \bigl(F - F_m\bigr)\,v.$
б) Мощность на резисторе.
$P_{R} = I^{2}\,R, \quad\text{где}\quad I = \frac{E - B\,L\,v}{R}.$
Значит,
$P_R \;=\; \frac{(E - B\,L\,v)^2}{R}.$
Таким образом, искомое условие
$\underbrace{\bigl(F - F_m\bigr)\,v}_{\tfrac{dK}{dt}} \;=\; \underbrace{\frac{(E - B\,L\,v)^2}{R}}_{P_R}.$
Подставим числа (из предыдущей части $E=1\,\text{В}$ ):
- $F=2\,\text{Н}$ ,
- $B\,L = 4\times 10^{-3}\times 0{,}5 = 0{,}002\,\text{В c/м}$ ,
- $R=100\,\Omega$ ,
- $E=1\,\text{В}$ .
Тогда
$I = \frac{1 - 0{,}002\,v}{100},$ $F_m \;=\; I\,\bigl(L\,B\bigr) \;=\; \frac{(1 - 0{,}002\,v)\,(0{,}002)}{100} \;=\; 2\times 10^{-5}\,\bigl(1 - 0{,}002\,v\bigr).$ $F_{\text{net}} = F - F_m = 2 - 2\times 10^{-5}\bigl(1 - 0{,}002\,v\bigr).$
Мгновенная мощность, идущая в кинетику стержня,
$F_{\text{net}}\,v = \Bigl[2 - 2\times 10^{-5}\bigl(1 - 0{,}002\,v\bigr)\Bigr]\;v.$
Мощность на резисторе
$P_R = \frac{(1 - 0{,}002\,v)^2}{100}.$
Приравнивая,
$\bigl(F - F_m\bigr)\,v \;=\; \frac{(1 - 0{,}002\,v)^2}{100},$
и решая это уравнение по $v$ , в итоге получается
$v_2 \approx 0{,}005\,\text{м/с}.$
Это и есть первая (и, как оказывается, единственная) скорость, при которой
$\displaystyle \tfrac{dK}{dt} = P_R$ .

Важно заметить, что численно это всего лишь 5 мм/с, то есть очень маленькая скорость на фоне «больших» сил и «большого» установившегося $500\text{ м/с}$ в предыдущей части.
Округление до требуемой точности

По условию ответа нужно:
- ЭДС $E$ дать «с точностью до целых» (в вольтах). Мы получили $E=1\,\text{В}$ .
- Скорость $v_2$ — «с точностью до десятых» (в м/с). Число $0{,}005$ м/с при округлении до десятых даёт $0{,}0$ м/с.
Если же хочется отразить, что скорость не строго ноль, иногда ответ выписывают как $0{,}0$ «c точностью до десятых» или указывают $0{,}01$ м/с (зависит от принятого правила округления). Но строгое математическое округление $0.005\rightarrow 0.0$ при одной десятичной.

Итоговые ответы

ЭДС источника

\boxed{E \;=\; 1\text{ В}. }

Скорость $v_2$ , при которой $\displaystyle \frac{dK}{dt}$ впервые равна $\displaystyle P_R$ , — примерно

v_2 \;\approx\; 0{,}005\,\text{м/с},

а при требуемом округлении «до десятых» получается

\boxed{v_2 \;=\; 0{,}0\text{ м/с}.}

Pergunta

Pensamento

Resposta

Итоговые ответы

Compartilhar esta Q&A