реши задачу: Кеша заинтересовался распределёнными ...

Criado em: 8 de fevereiro de 2025

Respondido usando O1 por Chat01

Pergunta

реши задачу: Кеша заинтересовался распределёнными вычислениями и написал программу для тестирования различных кластеров (наборов процессоров).

Кешина программа довольно проста - она добавляет в очередь
10000 операций по
6 секунд каждая и запускает задачи из этой очереди как только у одного из процессоров появляется свободный поток. Запущенная задача из очереди убирается. Программа работает до тех пор, пока очередь не опустеет. Программа не дожидается окончания работы отправленных задач, работа завершается сразу же, как только в очереди не остаётся ни одной задачи. Отправку задач Кеша для простоты вычислений считает мгновенной.

Кеша рассматривает
3 вида процессоров:

A -
8 ядер,
2 потока на каждом ядре, стоимость -
500 денег за один процессор.
B -
16 ядер,
2 потока на каждом ядре, стоимость -
700 денег за один процессор.
C -
4 ядра,
1 поток на каждом ядре, стоимость -
200 денег за один процессор.
Кеша хочет собрать кластер, купив некоторое количество процессоров того или иного типа для запуска на них своей программы. Определите, какое минимальное время работы программы Кеша может достичь, если он хочет, чтобы все используемые процессоры в сумме стоили не более
3000 денег. В качестве ответа укажите через пробел
2 числа – минимальное возможное число секунд и необходимое для этого количество денег.

Примечание: кластер может состоять из процессоров разных типов, а может и из процессоров одного типа.

Pensamento

Determining cluster efficiency

Kesha is mapping out the optimal processor combination to handle 10,000 operations, each taking 6 seconds, ensuring the queue is efficiently managed in the least time possible.

Refining the endpoint

It's becoming clear that the program halts when the queue is empty, thus measuring the time to start all tasks rather than their completion.

Determining task initiation rate

I'm thinking through how quickly tasks can start, considering the concurrency of threads and the 6-second interval required for task initiation. The goal is to determine the minimal time T.

Determining minimal time

I'm calculating the minimal time T by summing the tasks started by each thread at multiples of 6, ensuring the total across all threads reaches or exceeds 10,000 tasks.

Mapping the timeline

I’m piecing together a timeline where each thread completes tasks every 6 seconds, ensuring the queue is emptied as swiftly as possible. Progress is steady and linear.

Strategizing task allocation

Each 6-second interval, M tasks get queued. The final batch might be smaller, but threads must await free time slots to keep the process going smoothly.

Crunching the numbers

I’m figuring out how many 6-second waves are needed to assign 10,000 tasks. The time to free up threads depends on the last wave's task count.

Estimating the timeframe

After assigning tasks in waves with 6-second gaps, the final batch of tasks can be assigned immediately, totaling almost (number_of_waves - 1)*6 seconds plus starting the final wave.

Organizing task waves

Dividing 10,000 tasks into waves, each up to M tasks, with 6-second gaps between waves until all are assigned. The total time for this process is 6*(number_of_waves - 1).

Mapping time to task waves

It's becoming clearer. The total time for assigning 10,000 tasks in waves of up to M, with 6-second gaps, aligns perfectly with 6*(ceil(10000/M) - 1).

Evaluating thread combinations

I'm curious about the best setup to assign tasks within 3000 units, keeping the time as low as possible, since fewer threads lead to a quicker time compared to more threads.

Balancing cost and performance

I'm determining the best thread combination within a 3000 cost limit to minimize completion time. Evaluating different processor packs, each with distinct thread counts and costs.

Evaluating efficiency

I'm considering different processor packs, focusing on maximizing threads per cost ratio. Pack B offers the best efficiency at 0.0457 threads per cost unit.

Strategizing processor packs

I’m working through combinations to maximize thread count. Four B packs plus one C pack, utilizing the entire 3000 budget, results in 132 threads. Progress is being made here.

Evaluating purchases

It's tempting to consider six A packs for 3000, but they only provide 96 threads, less efficient than the 132 threads from four B packs and one C pack.

Evaluating new combinations

Adding combinations like 3 B packs, 1 A pack, and 2 C packs at 3000, totaling 120 threads, still falls short of 132 threads. Progress continues with alternatives.

Piecing together combinations

Mixing B, A, and C packs to maximize threads. Despite various attempts, none surpass the 132 threads from the four B packs and one C pack. Progress is steady and thoughtful.

Final combination

Four B packs and one C pack at 3000 produce 132 threads, the optimal mix. Calculating T for 132 threads, dividing 10000 by 132 gives a quotient of 75.76, leading to 76 after ceiling.

Reaching the limit

I’ve found that 132 threads is the most efficient solution for 3000. Trying combinations exceeding 3000 in cost won’t yield better results.

Assessing thread efficiency

I’m working through the feasibility of achieving 444 seconds with 134 threads, but the costs and combinations are too high or unsuitable, confirming 450 seconds is the best result.

Reasoned for 42 seconds

Resposta

Разбор задачи

Имеется очередь из 10 000 задач, каждая задача занимает ровно 6 секунд. Задачи выполняются на кластере, состоящем из некоторого набора процессоров. Важная особенность: программа заканчивает работу в тот момент, когда очередь опустела, то есть когда последняя задача была запущена (а не когда она завершилась). Таким образом:

  1. Если у нас есть MM потоков (thread-ов), то они могут запускать задачи «волнами» каждые 6 секунд:

    • В момент времени t=0t=0 запускаются (распределяются) задачи на все MM потоков (если задач не меньше MM).
    • Пока потоки заняты, новых задач запустить нельзя (т.к. поток освободится только через 6 секунд).
    • Следующая «волна» запуска задач произойдёт в момент t=6t=6 (когда все потоки освободятся разом), затем в t=12t=12, и так далее.
  2. Пусть требуется kk таких «волн» (шагов по 6 секунд), чтобы распределить все 10 000 задач. Тогда:

    • За каждую волну уходит ровно 6 секунд ожидания (до начала следующей).
    • Первая волна происходит в момент t=0t=0.
    • Если после kk-й волны в очереди задач не осталось, программа завершается сразу (не нужно ждать ещё 6 секунд).
    • Значит, итоговое время: T=6×(k1),T = 6 \times (k - 1), где kk — минимальное число волн, чтобы успеть «выдать» все 10 000 задач.
  3. За одну волну (когда потоки только что освободились) можно выдать максимум MM задач (по одной на каждый поток). Чтобы покрыть все 10 000 задач за kk волн, нужно:

    kM    10000.k \cdot M \;\ge\; 10\,000.

    Минимальное kk, удовлетворя этому, есть

    k=10000M.k = \bigl\lceil \frac{10\,000}{M} \bigr\rceil.

    Тогда итоговое время:

    T=6× ⁣(10000M1).T = 6 \,\times\! \bigl(\bigl\lceil \tfrac{10\,000}{M}\bigr\rceil - 1\bigr).

Типы процессоров и их «выгода»

У нас есть три типа процессоров с разными характеристиками:

  1. A

    • 8 ядер, 2 потока на ядро     16\;\Rightarrow\;16 потоков
    • Стоимость: 500
    • «Выгода» (число потоков на 1 денежную единицу): 16/500=0,03216/500 = 0{,}032.
  2. B

    • 16 ядер, 2 потока на ядро     32\;\Rightarrow\;32 потока
    • Стоимость: 700
    • Выгода: 32/7000,045732/700 \approx 0{,}0457.
  3. C

    • 4 ядра, по 1 потоку     4\;\Rightarrow\;4 потока
    • Стоимость: 200
    • Выгода: 4/200=0,024/200 = 0{,}02.

Наилучшее соотношение «потоки/стоимость» у процессора типа B (примерно 0.0457), затем идёт A, и хуже всего C.


Задача: выбрать некоторое количество процессоров (A, B, C) так, чтобы суммарная стоимость 3000\le 3000, а суммарное число потоков MM было максимально (это даёт минимальное время TT).


Поиск оптимальной комбинации

  1. Попробуем взять максимум B, так как у них лучшее «потоки/стоимость»:

    • Стоимость одного B = 700.
    • За 3000 мы можем купить максимум 3000/700=4\lfloor 3000 / 700 \rfloor = 4 штуки (это обойдётся в 4×700=28004 \times 700 = 2800).
    • Тогда останется 200 «свободных» денег (30002800=2003000 - 2800 = 200).
    • На 200 можно взять ровно 1 процессор C (т.к. он стоит 200).
    • Итого:
      • 44 процессора B     4×32=128\;\Rightarrow\; 4 \times 32 = 128 потоков
      • 11 процессор C     4\;\Rightarrow\; 4 потока
      • Общее число потоков: 128+4=132128 + 4 = 132
      • Полная стоимость: 2800+200=30002800 + 200 = 3000.
  2. Проверим, не выйдет ли больше потоков, если комбинировать B и A и/или C как-то иначе:

    • Например, 55 процессоров B стоили бы 5×700=35005 \times 700 = 3500 — это больше 3000, не подходит.
    • Другие комбинации приравниваются к тому же бюджету, но обычно дают меньше суммарных потоков, поскольку A и C менее выгодны по отношению к B.
    • Самостоятельно процессор A стоит 500, даёт 16 потоков. Чтобы обогнать комбинацию с B, нам пришлось бы докупать много A, но упираемся в цену.
    • Аналогично с C: он наиболее «дорогой» в пересчёте на потоки (4 потока за 200).

Таким образом, максимум потоков в пределах 3000 денег даёт комбинация:

4 процессора B + 1 процессор C = 132 потока, стоимость ровно 3000.


Вычисление времени

При M=132M = 132 потоках нам нужно закрыть 10 000 задач по 6 с:

10000132=75,7575=76.\bigl\lceil \tfrac{10\,000}{132} \bigr\rceil = \bigl\lceil 75{,}7575\ldots \bigr\rceil = 76.

Тогда число «волн» k=76k = 76. Итоговое время:

T=6×(761)=6×75=450 секунд.T = 6 \times (76 - 1) = 6 \times 75 = 450 \text{ секунд}.

Ответ

Минимальное возможное время работы программы (при бюджете не более 3000) равно 450 секунд. При этом нужно ровно 3000 денег (дешевле уже не получится набрать столько потоков, чтобы уменьшить время).

450 3000

Compartilhar esta Q&A