Мощность алфавита для кодирования

Criado em: 5 de fevereiro de 2025

Respondido usando O3 Mini High por Chat01

Pergunta

На предприятии каждой изготовленной детали присваивают серийный номер, состоящий из 261 символов. Для его хранения отведено одинаковое и минимально возможное число байт. При этом используется посимвольное кодирование серийных номеров, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным числом бит. Известно, что для хранения 252 500 серийных номеров отведено более 31 Мбайт памяти. Определите минимально возможную мощность алфавита, из которого составляются серийные номера.
В ответе запишите только число.

Pensamento

Разбираю проблему

На предприятии, каждому изделию присвоен серийный номер из 261 символа. Кодирование символов одинаково и минимально возможное. Хранятся 252,500 серийных номеров, требуя более 31 МБ памяти.

Определяю размер алфавита

Для кодирования символов используется минимальное количество бит, чтобы уместить 261 символ в одном байте. Нам нужно найти минимальный размер алфавита, чтобы обеспечить эту функцию.

Понимание значений

Я разбираюсь в значении 31 Мбайт, которое обычно соответствует 31*2^20 байт.

Уточняем значение

Окей, посмотрим: 1 Мбайт может быть 2^20 или 10^6 байт. Подходим к этому аккуратно, учитывая контекст и употребление термина "более 31 Мбайт".

Рассматриваю варианты

Окей, я вычисляю 31 Мбайт как 31*2^20 байт и выясняю, как это соотносится с минимальным размером алфавита для серийных номеров.

Ищу требования

Определяю минимальный размер алфавита для 252500 серийных номеров, чтобы память превышала 31 Мбайт, учитывая, сколько бит требуется для кодирования символов.

Подбираю подходящий размер

Я определяю минимальный размер алфавита для 252500 серийных номеров из 261 символа, чтобы память была менее 31 Мбайт, и сколько бит нужно для кодирования символов.

Ищу минимальные преобразования

Определяю минимальный размер алфавита и количество бит на символ, так чтобы общее выделение памяти для серийных номеров превышало 31 Мбайт.

Ищу подходящий размер

Определяю минимальный размер алфавита, чтобы общее выделение памяти для серийных номеров превышало 31 Мбайт. Учитываю минимальное количество бит на символ и общее выделение памяти.

Ищем баланс

Я исследую альтернатива вычислений, чтобы понять, сколько байт нужно для хранения каждого серийного номера, при этом общее выделение памяти должно превышать 31 Мбайт.

Подбираю значения

Я проверяю, сколько бит нужно на символ при b=4, чтобы общее выделение памяти превышало 31 Мбайт, и определяю минимальный размер алфавита, чтобы выполнить это условие.

Проверяю ограничения

Проверяю, сколько символов в алфавите и сколько битов нужно на символ для выделения памяти более 31 Мбайт. Оказывается, что минимальный размер алфавита должен быть 16 символов.

Рассматриваю минимальный размер

Выявляю, что минимальный объем словаря для кодировки при выделении памяти свыше 31 Мбайт составляет 2^(b-1)+1, где b — минимальное количество бит для кодирования символа.

Ищу оптимальные значения

Проверяю b=3 и b=4, чтобы убедиться, что выделение памяти превышает 31 Мбайт. Оказывается, b=4 подходит, и минимальный размер алфавита составляет 9.

Проверяю условия

Оказывается, что для выделения памяти свыше 31 Мбайт нужно минимум 9 символов в алфавите при 4 бита на символ.

Уточняю требования

Для того чтобы выделить память свыше 31 Мбайт, необходим минимум 9 символов в алфавите при 4 бита на символ, что обусловлено оснащением более 31 Мбайт.

Уточняю выделение памяти

Проверяю, выделяется ли память свыше 31 Мбайт для 252500 записей при 4 бита на символ и 9 символов в алфавите.

Проверка условий

Для выделения памяти свыше 31 Мбайт при 4 бита на символ и 9 символов в алфавите, минимальное значение m действительно 9.

Проверяю условия

Проверяю, что для выделения более 31 Мбайт памяти при 9 символах в алфавите и 4 бита на символ, минимальное значение m действительно 9.

Reasoned about минимальную мощность алфавита для 29 секунд

Resposta

Обозначим через $m$ мощность алфавита, а через $b$ число бит, необходимое для кодирования одного символа. Так как кодирование производится минимальным числом бит, то

b = \lceil \log_2 m \rceil.

При этом если $m$ не превосходит $2^{b-1}$ , то можно обойтись и $b-1$ битами, поэтому для того, чтобы действительно использовать $b$ бит, должно быть

m \ge 2^{b-1}+1.

Каждый серийный номер состоит из 261 символа, то есть его битовая длина равна $261\cdot b$ . Однако отводят целое число байт, а 1 байт = 8 бит. Поэтому для хранения одного номера используется

N = \left\lceil \frac{261\cdot b}{8} \right\rceil \quad \text{байт}.

Нам известно, что для 252500 серийных номеров отведено более 31 Мбайт памяти. Обычно в таких задачах 1 Мбайт принимают равным $2^{20}=1048576$ байт, поэтому имеем неравенство:

252500\cdot N > 31\cdot 1048576.

Найдём сначала минимальное $b$ , при котором это неравенство выполняется.

Если $b=3$ , то
$261\cdot 3 = 783 \quad\Rightarrow\quad N = \left\lceil \frac{783}{8} \right\rceil = \lceil 97.875 \rceil = 98.$
Тогда общий объём памяти:
$252500\cdot 98 = 24745000 \quad \text{байт}.$
Сравним с $31\cdot 1048576 \approx 32505856$ байт. Очевидно, $24745000 < 32505856$ .
Если $b=4$ , то
$261\cdot 4 = 1044 \quad\Rightarrow\quad N = \left\lceil \frac{1044}{8} \right\rceil = \lceil 130.5 \rceil = 131.$
Тогда общий объём памяти:
$252500\cdot 131 = 252500\cdot 130 + 252500 = 32825000 + 252500 = 33077500 \quad \text{байт}.$
При этом $33077500 > 32505856$ . Таким образом, при $b=4$ условие выполняется.

Теперь, поскольку при $b=3$ памяти оказалось недостаточно, а при $b=4$ – достаточно, кодирование каждого символа происходит 4 битами. Но чтобы действительно понадобилось 4 бита, мощность алфавита должна быть не меньше

2^{4-1} + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9.

Таким образом, минимально возможная мощность алфавита равна 9.

Pergunta

Объясни мне это

Pensamento

Рассматриваю сериальные номера

Преобразование 261 символа в биты сложнозначно, так как данные хранятся в целых байтах.

Сокращаю количество битов

Я уменьшаю количество битов на символ, чтобы сэкономить место. Сейчас, чтобы уложиться в 31 Мбайт, нужно 4 бита на символ. Это точно вписывается в рамки.

Устанавливаю ограничения

Окей, минимальное количество битов на символ - 4. А размер алфавита должен быть хотя бы 9, чтобы это работало.

Определяю обязательное

Для каждого серийного номера нужно 4 бита на символ, чтобы убедиться, что общая память превышает 31 МБ.

Устанавливаю правила

Чтобы использовать 4 бита на символ, размер алфавита должен быть больше 8, ведь иначе можно обойтись 3 битами.

Проверяю память

Сначала выясняю, сколько бит нужно для одного серийного номера, затем смотрю, сколько нужно для всех. В итоге, 4 бита подходят.

Reasoned about минимальной мощности алфавита для 10 секунд

Resposta

Рассмотрим пошагово, как решается задача.

Кодирование символа:
Каждый символ кодируется фиксированным числом бит, обозначим это число через $b$ . При этом, если алфавит имеет $m$ символов, то минимальное число бит, чтобы закодировать их все, равно $\lceil \log_2 m \rceil$ . Однако важно: если $m \le 2^3 = 8$ , то достаточно и 3 бит, а нам нужно, чтобы кодирование действительно требовало $b$ бит. То есть, чтобы использовать $b$ бит, должно быть
$m \ge 2^{b-1} + 1.$
Память для одного серийного номера:
Серийный номер состоит из 261 символа. Если каждый символ кодируется $b$ битами, то для одного номера требуется $261 \cdot b$ бит. Поскольку память выделяется целыми байтами (1 байт = 8 бит), фактически на один номер выделяют
$N = \left\lceil \frac{261 \cdot b}{8} \right\rceil \quad \text{байт}.$
Общий объем памяти:
Известно, что на хранение 252500 серийных номеров отведено более 31 Мбайт. Принимая 1 Мбайт равным $2^{20}=1048576$ байт, получаем неравенство:
$252500 \cdot N > 31 \cdot 1048576.$
Проверка при $b=3$ :
- Вычисляем количество бит на один номер: $261 \cdot 3 = 783$ бит.
- В байтах это: $\frac{783}{8} = 97.875$ , округляем до целого вверх, получаем $N = 98$ байт.
- Тогда общий объем памяти: $252500 \cdot 98 = 24745000$ байт.
  Это меньше $31 \cdot 1048576 \approx 32505856$ байт, условие не выполняется.
Проверка при $b=4$ :
- Количество бит: $261 \cdot 4 = 1044$ бит.
- В байтах: $\frac{1044}{8} = 130.5$ , округляем вверх, получаем $N = 131$ байт.
- Общий объем: $252500 \cdot 131 = 33077500$ байт.
  Это больше $31 \cdot 1048576 \approx 32505856$ байт, условие выполняется.
Определение мощности алфавита:
Получили, что минимальное число бит для кодирования одного символа должно быть $b=4$ . Но если бы алфавит содержал не более $2^3 = 8$ символов, то можно было бы обойтись 3 битами. Чтобы действительно понадобилось 4 бита, мощность алфавита должна быть не меньше
$2^3 + 1 = 8 + 1 = 9.$

Таким образом, минимально возможная мощность алфавита, из которого составляются серийные номера, равна 9.

Pergunta

Pensamento

Resposta

Pergunta

Pensamento

Resposta

Compartilhar esta Q&A