Максимальная длина идентификатора

Question

При регистрации в компьютерной системе каждому объекту присваивается идентификатор, состоящий из некоторого количества символов и содержащий только десятичные цифры и символы из 100-символьного специального алфавита. В базе данных для хранения каждого идентификатора отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование идентификаторов, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит. Определите максимально возможную длину идентификатора, если известно, что для хранения 1800 идентификаторов отведено не более 720 Кбайт памяти. В ответе запишите только целое число.

Answer 1

Разбор задачи

Общее количество различных символов
По условию идентификатор может содержать:
- 10 десятичных цифр;
- 100 специальных символов.
  Итого $10 + 100 = 110$ различных символов.
Минимальное количество бит на символ
Чтобы закодировать 110 различных символов, нужно не меньше
$\lceil \log_2(110) \rceil = 7 \text{ бит}.$
Размер одного идентификатора в байтах
Пусть максимальная длина идентификатора равна $L$ символов. Тогда каждый символ требует 7 бит, а всего на идентификатор нужно $7L$ бит. Хранение ведётся целым числом байт, значит на каждый идентификатор отводится
$\Bigl\lceil \frac{7L}{8} \Bigr\rceil \text{ байт}.$
Общее ограничение по памяти
Всего в базе $1800$ идентификаторов, и на их хранение отведено не более $720$ Кбайт. В задаче обычно под $1$ Кбайтом понимают $1024$ байта ( $720$ Кбайт = $720 \times 1024 = 737\,280$ байт ).
Таким образом, получаем неравенство:
$1800 \times \Bigl\lceil \frac{7L}{8} \Bigr\rceil \;\;\le\;\; 737\,280.$
Поиск максимального $L$
- Сначала оценим без учёта потолка:
  $1800 \times \frac{7L}{8} \;\le\; 737\,280 \quad\Longrightarrow\quad \frac{7 \times 1800}{8}\,L \;\le\; 737\,280.$
  Поскольку $\frac{7 \times 1800}{8} = 1575$ ,
  $1575 \,L \;\le\; 737\,280 \;\;\Longrightarrow\;\; L \;\le\; \frac{737\,280}{1575} \approx 468,46.$
- Но нужно учитывать целочисленное округление (потолок) при вычислении байт. Проверяем целые $L$ вокруг 468:
  1. $L = 468$ :
    $\tfrac{7 \cdot 468}{8} = 409{,}5$ ,
    $\lceil 409{,}5\rceil = 410$ .
    Тогда общий объём:
    $1800 \times 410 = 738{,}000$ байт,
    что превышает 737,280.
  2. $L = 467$ :
    $\tfrac{7 \cdot 467}{8} = 408{,}625$ ,
    $\lceil 408{,}625\rceil = 409$ .
    Тогда общий объём:
    $1800 \times 409 = 736{,}200$ байт,
    что не превышает 737,280.
  3. Проверка $L=469$ уже даст ещё больше байт (и тем более превысит лимит).

Таким образом, максимально возможная длина идентификатора, чтобы суммарный объём не вышел за 720 Кбайт, есть $L = 467$ .

Ответ: 467

Answer 2

Разберём задачу по шагам:

Размер одного снимка в битах
- Разрешение снимка: 1024 × 64 = 65 536 пикселей.
- Палитра в 4096 цветов означает, что для кодирования цвета одного пикселя требуется $\log_2(4096) = 12$ бит.
- Значит, на один снимок приходится: $65\,536 \;\text{пикселей} \times 12 \;\text{бит на пиксель} = 786\,432 \;\text{бит}.$
Скорость передачи данных
Скорость — 655 360 бит/с.
Максимально возможный объём данных за 70 секунд
$655\,360 \;\text{бит/с} \;\times 70 \;\text{с} = 45\,875\,200 \;\text{бит}.$
Число снимков в одном пакете
Пусть $N$ — количество снимков в пакете. Тогда полный объём пакета:
$N \times 786\,432 \;\text{бит}.$
Это должно быть не больше 45 875 200 бит:
$N \times 786\,432 \;\le\; 45\,875\,200.$ $N \;\le\; \frac{45\,875\,200}{786\,432} \approx 58{,}36.$
Поскольку $N$ должно быть целым, максимально возможное $N = 58$ .

Ответ: 58

Answer 3

Разбор задачи

Определим адресную ёмкость сети
Маска $255{.}255{.}252{.}0$ в двоичном виде имеет 22 установленных в 1 бита (по 8 бит в первых двух октетах и 6 бит в третьем):
$255 = 11111111,\quad 255 = 11111111,\quad 252 = 11111100,\quad 0 = 00000000.$
Следовательно, это сеть с префиксом $/22$ . Число адресов в такой сети
$2^{\,32-22} \;=\; 2^{10} \;=\; 1024.$
(Здесь не делается различия между «адресами хостов» и «служебными» адресами — вопрос сформулирован так, что под «IP-адресами в сети» имеется в виду весь диапазон.)
Выясним, какие биты в адресе «жёстко зафиксированы»
«Сетевая» часть — первые 22 бита, «хостовая» часть — последние 10 бит.
- Первые два октета:
  - $63_{10} = 00111111_2$ — содержит 6 единиц.
  - $7_{10} = 00000111_2$ — содержит 3 единицы.
- Третий октет $212_{10} = 11010100_2$ $21 2_{10} = 1101010 0_{2}$ : из него по маске «сетью» считаются первые 6 бит (110101), а последние 2 бита (00) — это уже часть «хостовой» области.
  - В «сетевых» 6 битах $110101$ ровно 4 единицы.
Итого в фиксированных (сетевых) 22 битах стоит
$6 + 3 + 4 \;=\; 13$
единиц.
Анализ «хостовой» части
В «хостовой» части 10 бит (2 бита от третьего октета + 8 бит четвёртого октета). Обозначим эти 10 бит за $h$ . Количество единиц в $h$ может быть от $0$ до $10$ .

Полное число единиц в 32-битном IP-адресе тогда равно
$13 \;+\; \text{popcount}(h),$
где $\text{popcount}(h)$ — число установленных в 1 бит среди этих 10.
Условие «число единиц не кратно 8»
Требуется подсчитать, при скольких $h$ величина
$13 + \text{popcount}(h)$
не делится на 8. Эквивалентно:
$(\,13 + \text{popcount}(h)\bmod 8\,)\bmod 8 \;\neq\; 0.$
Заметим, что $13 \bmod 8 = 5$ . Значит, условие «делится на 8» переписывается как:
$(5 + \text{popcount}(h)) \bmod 8 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \text{popcount}(h)\bmod 8 = 3.$
Иначе говоря, «не делится» означает $\text{popcount}(h) \bmod 8 \neq 3$ .
Сколько 10-битных чисел имеют $\text{popcount}(h) \equiv 3 \bmod 8$ ?
В диапазоне от $0$ до $10$ (включительно) единственное значение, которое даёт остаток 3 по модулю 8, — это ровно $3$ . (Число единиц не может быть 11 или 19 и т.д., потому что у нас всего 10 бит.)

Значит, нужно найти, сколько 10-битных двоичных векторов имеют ровно 3 единицы. Это
$\binom{10}{3} = 120.$
Стало быть, ровно у 120 адресов «общее число единиц» в IP получается кратно 8.
Итоговая выборка
Всего адресов в сети — $1024$ . Из них у 120 число единиц кратно 8, а у остальных $(\,1024 - 120) = 904$ — не кратно 8.

Ответ: 904

Answer 4

Разбор задачи по шагам

У нас есть пятизначный код (5 символов), каждый символ — это цифра от 1 до 6. Требуется:

Цифра 3 встречается ровно один раз (и только один).
Количество чётных цифр не превосходит количество нечётных.

1. Классификация цифр

Чётные: 2, 4, 6
Нечётные: 1, 3, 5

2. Фиксируем единственную «3»

Раз в коде должна быть ровно одна «3», выберем для неё позицию в пятизначной последовательности.

Способов выбрать позицию для «3» ровно $5$ .

После выбора позиции под «3» останется 4 свободных позиции, которые можно заполнить любыми цифрами из множества $\{1,2,4,5,6\}$ (то есть «3» туда уже ставить нельзя, иначе получилось бы больше одного «3»).

3. Условие «количество чётных цифр $\le$ количество нечётных»

С учётом уже имеющейся одной «3» (которая нечётная!):

Пусть в оставшихся 4 позициях будет $x$  чётных цифр и $y$  нечётных.
Тогда $x + y = 4$ .
Во всём пятиместном коде окажется:
- Чётных цифр $= x$ .
- Нечётных цифр $= y + 1$ (поскольку одна нечётная — это наша «3»).

Условие «чётных не более, чем нечётных» означает

x \;\le\; y + 1.

Но $y = 4 - x$ , следовательно:

x \;\le\; (4 - x) + 1 \quad\Longrightarrow\quad x \;\le\; 5 - x \quad\Longrightarrow\quad 2x \;\le\; 5 \quad\Longrightarrow\quad x \;\le\; 2.5.

То есть $x$ может быть $0$ , $1$ или $2$ , но не больше.

4. Подсчёт способов заполнить 4 позиции с учётом $x$

У нас есть 4 позиции, в которых ровно $x$ чётных и $4 - x$ нечётных.

Чётные (3 варианта: 2, 4, 6)
Нечётные (2 варианта: 1, 5)

Число способов выбрать и расставить $x$ чётных и $4-x$ нечётных в 4 позициях:

Выбираем $x$ позиций из 4: $\binom{4}{x}$ .
На каждую «чётную» позицию можно поставить любую из 3 чётных цифр $\{2,4,6\}$ , итого $3^x$ вариантов.
На каждую «нечётную» позицию можно поставить любую из 2 нечётных цифр $\{1,5\}$ , итого $2^{\,4-x}$ вариантов.

Значит, для данного $x$ общее число расстановок:

\binom{4}{x}\;\times\;3^x\;\times\;2^{\,4-x}.

Суммируем по $x = 0, 1, 2$ :

Для $x=0$ :
$\displaystyle \binom{4}{0}\times 3^0\times 2^4 = 1\times1\times16 = 16.$
Для $x=1$ :
$\displaystyle \binom{4}{1}\times 3^1\times 2^3 = 4\times3\times8 = 96.$
Для $x=2$ :
$\displaystyle \binom{4}{2}\times 3^2\times 2^2 = 6\times9\times4 = 216.$

Суммарно:

16 + 96 + 216 \;=\; 328.

5. Расстановка «3»

Как только мы выбрали конкретную четырёхзначную комбинацию (из 328 возможных), нужно решить, где в пятиместном коде стоит наша единственная «3».

Позицию «3» в пятизначной последовательности можно выбрать $5$ способами.

Каждый такой выбор даёт уникальный код (ведь порядок в последовательности важен), значит коэффициент на 5:

328 \;\times\; 5 = 1640.

Это и есть число различных пятиместных кодов, удовлетворя всем условиям.

Ответ: $1640$ .

Answer 5

Разбор задачи

Состав алфавита
- 10 десятичных цифр (0–9).
- 2000 специальных символов.
  Итого в алфавите $10 + 2000 = 2010$ различных символов.
Минимальное число бит на символ
Требуется закодировать 2010 различных символов. Для этого нужно не меньше
$\lceil \log_2(2010) \rceil.$
Поскольку $2^{10} = 1024 < 2010$ и $2^{11} = 2048 > 2010$ , получаем:
$\lceil \log_2(2010) \rceil = 11 \text{ бит}.$
Объём на один идентификатор
Длина идентификатора — 201 символ. Значит, на один идентификатор уходит
$201 \times 11 = 2211 \text{ бит}.$
Хранение ведётся в целом числе байт, значит фактически на один идентификатор отводится
$\Bigl\lceil \tfrac{2211}{8} \Bigr\rceil = 277 \text{ байт}.$
(Ведь $2211/8 = 276{,}375$ , округляем вверх до 277.)
Общий объём для 19 456 идентификаторов
$277 \;\text{байт} \;\times\; 19{,}456 \;=\; 5{,}389{,}312 \;\text{байт}.$
Перевод в килобайты
По условию «Кбайт» обычно считают равным $1024$ байтам. Проверим деление:
$\frac{5{,}389{,}312}{1024} = 5{,}263.$
Оказалось, что делится на 1024 точно без остатка.

Ответ: 5263

Answer 6

Ниже приведён пример кода на Python, который находит минимальное $N > 3$ , для которого получающееся по описанному правилу число $R$ превышает 256.

python
def transform(N):
    """
    Возвращает число R, полученное из N по заданному правилу:
      1. Берём двоичную запись N (без префикса '0b').
      2. Если N чётное, дописываем справа две последние двоичные
         цифры N в том же порядке.
         Если N нечётное, дописываем справа три последние двоичные
         цифры N в том же порядке.
      3. Полученную новую двоичную строку переводим в десятичное число.
    """
    bin_str = bin(N)[2:]  # двоичная строка без '0b'
    if N % 2 == 0:
        # Для чётного числа дописываем последние 2 бита
        suffix = bin_str[-2:]
    else:
        # Для нечётного — последние 3 бита
        suffix = bin_str[-3:]
    new_bin_str = bin_str + suffix
    return int(new_bin_str, 2)

def find_minimum_exceeding_256():
    """
    Находит минимальное натуральное N > 3 такое,
    что R(N) > 256.
    """
    N = 4
    while True:
        R = transform(N)
        if R > 256:
            return N
        N += 1

# Запуск поиска
answer = find_minimum_exceeding_256()
print(answer)

Объяснение логики

Функция transform(N):
- Получает двоичное представление числа N (строка без префикса '0b').
- Если N чётное, к этой строке добавляются последние 2 двоичные цифры N.
- Если N нечётное, добавляются последние 3 двоичные цифры.
- Затем результат переводится обратно в десятичное число — это и есть $R$ .
Функция find_minimum_exceeding_256():
- Перебирает все $N$ , начиная с $4$ (по условию $N > 3$ ).
- Для каждого $N$ вычисляет $R$ и проверяет, превышает ли $256$ .
- Как только условие выполнено, мы возвращаем найденное $N$ .

Если запустить такой код, выясняется, что минимальное $N$ , дающее $R>256$ , равно 33.

Максимальная длина идентификатора

Pergunta

Pensamento

Resposta

Ответ: 467

Pergunta

Pensamento

Resposta

Ответ: 58

Pergunta

Pensamento

Ответ: 512 для 2m 19s

Resposta

Ответ: 904

Pergunta

Pensamento

Resposta

1. Классификация цифр

2. Фиксируем единственную «3»

3. Условие «количество чётных цифр $\le$ количество нечётных»

4. Подсчёт способов заполнить 4 позиции с учётом $x$

5. Расстановка «3»

Ответ: $1640$ .

Pergunta

Pensamento

Resposta

Ответ: 5263

Pergunta

Pensamento

Resposta

Объяснение логики

Compartilhar esta Q&A

Pergunta

Pensamento

Resposta

Ответ: 467

Pergunta

Pensamento

Resposta

Ответ: 58

Pergunta

Pensamento

Ответ: 512 для 2m 19s

Resposta

Ответ: 904

Pergunta

Pensamento

Resposta

1. Классификация цифр

2. Фиксируем единственную «3»

3. Условие «количество чётных цифр ≤\le≤ количество нечётных»

4. Подсчёт способов заполнить 4 позиции с учётом xxx

5. Расстановка «3»

Ответ: 164016401640.

Pergunta

Pensamento

Resposta

Ответ: 5263

Pergunta

Pensamento

Resposta

Объяснение логики

Compartilhar esta Q&A

3. Условие «количество чётных цифр $\le$ количество нечётных»

4. Подсчёт способов заполнить 4 позиции с учётом $x$

Ответ: $1640$ .