Количество синих чисел

Разберёмся с условием задачи:

1. Все числа $1,2,\dots,3800$ раскрашены в два цвета — красный и синий.
2. Условие раскраски: если сумма двух различных чисел $a$ и $b$ является простым числом, то $a$ и $b$ должны быть окрашены в разные цвета.
3. Известно, что число $1$ окрашено в красный цвет. Требуется найти, сколько среди чисел от $1$ до $3800$ окажется синих.

---

Наблюдение о парности

Заметим, что кроме простого числа $2$ все остальные простые числа нечетны. Сумма двух различных натуральных чисел может дать простое число $2$ только в случае $1+1$, но тут числа не различны, значит такое условие не учитывается.

Для всех остальных простых чисел (которые не равны 2) верно, что это нечётные числа. Тогда, чтобы сумма $a+b$ оказалась нечётной, одно из чисел должно быть чётным, а другое — нечётным.

Отсюда вытекает простое правило раскраски, удовлетворящее условию задачи:

Все нечётные числа красим в один цвет (например, красный), а все чётные — в другой (синий).

Проверим, что это не противоречит условию:

• Если $a+b$ — простое (и не равно $2$), то $a+b$ нечётно, значит одно из $a$, $b$ чётное, другое нечётное, следовательно, по выбранной схеме они окрашены в разные цвета.
• Сумма, равная $2$, могла бы быть $1+1$, но числа должны быть различными, поэтому такого случая нет.

Так как по условию задачи $1$ — красное, наша раскраска «нечётные = красные, чётные = синие» полностью соответствует всем требованиям.

---

Подсчёт синих чисел

Теперь осталось посчитать, сколько чётных чисел от $1$ до $3800$. Чётные числа в этом диапазоне — это $2, 4, 6, \dots, 3800$.

Количество таких чисел равно

$$\frac{3800}{2} = 1900.$$

Следовательно, число синих чисел равно 1900.