歪斜線判斷方法

To confirm if two lines in 3D space are skew, I ensure their direction vectors are neither parallel nor intersecting.

Investigating potential intersections

I’m thinking through the conditions that confirm two lines are skew: the direction vectors aren’t parallel, and solving the intersection equation yields no solution.

Thought about 空間中直線歪斜判斷 花的時間為 5 秒

在三維空間中，判斷兩條直線 $L_1$ 和 $L_2$ 是否是歪斜線（skew lines），通常可依以下步驟進行：

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1. 確定兩條直線的參數式

令

$$L_1: \mathbf{r}_1 = \mathbf{P}_1 + t \mathbf{d}_1, \quad t \in \mathbb{R},$$ $$L_2: \mathbf{r}_2 = \mathbf{P}_2 + s \mathbf{d}_2, \quad s \in \mathbb{R},$$

其中：

• $\mathbf{P}_1$、$\mathbf{P}_2$ 為直線上任意已知的一點（位置向量）。
• $\mathbf{d}_1$、$\mathbf{d}_2$ 為兩條直線的方向向量。

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2. 檢查是否平行

判斷兩條直線是否平行，可檢查它們的方向向量是否「成比例」：

$$\mathbf{d}_1 \text{ 與 } \mathbf{d}_2 \text{ 是否存在 } k \neq 0 \text{，使得 } \mathbf{d}_1 = k \,\mathbf{d}_2。$$

• 若 $\mathbf{d}_1$ 與 $\mathbf{d}_2$ 成比例，則 $L_1$ 與 $L_2$ 平行（或重合）。
• 若不成比例，則進行下一步判斷。

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3. 檢查是否相交

若兩條直線不平行，則看它們是否能找到一對參數 $(t, s)$ 滿足

$$\mathbf{P}_1 + t \mathbf{d}_1 = \mathbf{P}_2 + s \mathbf{d}_2。$$

• 若能找到解 $(t, s)$，代表兩條直線在空間中相交。
• 若無法找到解，則代表兩條直線不相交。

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4. 歪斜線的判斷

綜合上述：

1. 若方向向量不平行。
2. 且無法找到 $(t, s)$ 使得兩直線相交。

則兩條直線即為「歪斜線」。

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幾何直觀

• 平行：方向向量平行，且若不在同一條線上則永遠不相交。
• 相交：可以在空間中找到共同點。
• 歪斜線：既不平行，也找不到相交點，它們像「兩根彼此錯開的筷子」，在空間中保持一段最短距離卻不會交會。

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補充：最短距離

歪斜線也有一個重要特性：它們存在一段「最短距離」。

• 設 $\overrightarrow{P_1P_2} = \mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1$，
• 兩條歪斜線的最短距離即為向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 在 $\mathbf{d}_1$ 和 $\mathbf{d}_2$ 所張的平面之外的「垂直分量」。
• 其可用向量混合積（或稱三重積）來計算，常見公式為： $$\text{distance} = \frac{|(\mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1) \cdot (\mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2)|} {\|\mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2\|}.$$

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總結來說，兩條直線在空間中若「不平行、又不相交」，即判定為歪斜線。