logoChat01.ai

Удвоенная сумма корней

Criado em: 26 de dezembro de 2024

Respondido usando OpenAI 01 por OpenAI01

Pergunta

дан приведённый кубический многочлен P(x). Известно, что
P(11)+P(14)=P(12)+P(13).
Найдите удвоенную сумму всех корней P(x).

Pensamento

Untersuchung von P(x)
Ich schaue mir die symmetrische Beziehung von P(x) bei x = 12.5 an und denke darüber nach, wie die Verschiebung die Kubikenbeziehung beeinflusst.

Formel aufstellen
Die Werte werden für P(11)+P(14) und P(12)+P(13) berechnet, um die Koeffizienten a und b zu finden, wobei 150a + 4b = 0 herauskommt.

Gedanken für einige wenige Sekunden

Resposta

Дано кубический многочлен P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.

Нам известно, что:

P(11)+P(14)=P(12)+P(13)P(11) + P(14) = P(12) + P(13)

Вычислим разности:

P(11)+P(14)−P(12)−P(13)=0P(11) + P(14) - P(12) - P(13) = 0

Подставим выражение для P(x)P(x):

a(113+143−123−133)+b(112+142−122−132)+c(11+14−12−13)=0a(11^3 + 14^3 - 12^3 - 13^3) + b(11^2 + 14^2 - 12^2 - 13^2) + c(11 + 14 - 12 - 13) = 0

Вычислим значения:

113=1331,143=2744⇒113+143=407511^3 = 1331,\quad 14^3 = 2744 \quad \Rightarrow \quad 11^3 + 14^3 = 4075 123=1728,133=2197⇒123+133=392512^3 = 1728,\quad 13^3 = 2197 \quad \Rightarrow \quad 12^3 + 13^3 = 3925 112=121,142=196⇒112+142=31711^2 = 121,\quad 14^2 = 196 \quad \Rightarrow \quad 11^2 + 14^2 = 317 122=144,132=169⇒122+132=31312^2 = 144,\quad 13^2 = 169 \quad \Rightarrow \quad 12^2 + 13^2 = 313 11+14=25,12+13=25⇒11+14−12−13=011 + 14 = 25,\quad 12 + 13 = 25 \quad \Rightarrow \quad 11 + 14 - 12 - 13 = 0

Подставляем:

a(4075−3925)+b(317−313)+c(0)=0a(4075 - 3925) + b(317 - 313) + c(0) = 0 150a+4b=0⇒150a=−4b⇒b=−1504a=−752a150a + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 150a = -4b \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{150}{4}a = -\frac{75}{2}a

Сумма корней кубического уравнения:

−ba=−−752aa=752-\frac{b}{a} = -\frac{-\frac{75}{2}a}{a} = \frac{75}{2}

Удвоенная сумма корней:

2×752=752 \times \frac{75}{2} = 75

Ответ: 75

Compartilhar esta Q&A