Реши домашку из файла 5-5

В файле 5-5 дана последовательность функционалов

$$\varphi_n(f)=\int_0^n f(t)e^{2\pi i nt}\,dt$$

на $L^1(0,\infty)$, и нужно проверить сходимость по норме, поточечную сходимость и затем те же вопросы для $L^p,\ p>1$. (Analysis__5_-5.pdf)

Обозначим

$$h_n(t)=\mathbf 1_{[0,n]}(t)e^{2\pi int}.$$

Тогда

$$\varphi_n(f)=\int_0^\infty f(t)h_n(t)\,dt.$$

1. $L^1(0,\infty)$: сходимость по норме

Так как $(L^1)^*=L^\infty$,

$$\|\varphi_n\|=\|h_n\|_\infty=1.$$

Более того, последовательность даже не является фундаментальной по операторной норме. Пусть $m<n$. Тогда на $[0,m]$

$$h_n(t)-h_m(t) =e^{2\pi int}-e^{2\pi imt} =e^{2\pi imt}\bigl(e^{2\pi i(n-m)t}-1\bigr).$$

Следовательно,

$$|h_n(t)-h_m(t)| =|e^{2\pi i(n-m)t}-1|.$$

При

$$t_0=\frac1{2(n-m)}$$

получаем

$$e^{2\pi i(n-m)t_0}=e^{\pi i}=-1,$$

а значит

$$|h_n(t_0)-h_m(t_0)|=2.$$

Поэтому

$$\|\varphi_n-\varphi_m\| =\|h_n-h_m\|_\infty=2.$$

Итак,

$$\boxed{\varphi_n\text{ не сходится по норме в }(L^1)^*.}$$

---

2. $L^1(0,\infty)$: поточечная сходимость

Зафиксируем произвольное $f\in L^1(0,\infty)$. Запишем

$$\varphi_n(f) = \int_0^\infty f(t)e^{2\pi int}\,dt - \int_n^\infty f(t)e^{2\pi int}\,dt.$$

Для первого слагаемого применяем лемму Римана–Лебега. Если продолжить $f$ нулём на отрицательную полуось, то $f\in L^1(\mathbb R)$, следовательно

$$\int_0^\infty f(t)e^{2\pi int}\,dt\longrightarrow0.$$

Для второго:

$$\left| \int_n^\infty f(t)e^{2\pi int}\,dt \right| \le \int_n^\infty |f(t)|\,dt \longrightarrow0,$$

поскольку $f\in L^1$.

Значит для любого $f\in L^1(0,\infty)$

$$\boxed{\varphi_n(f)\longrightarrow0.}$$

То есть

$$\boxed{\varphi_n\text{ поточечно сходится к нулевому функционалу}.}$$

Обрати внимание на интересную ситуацию: поточечная сходимость есть, а сходимости по норме нет.

---

3. Теперь $L^p(0,\infty)$, $1<p<\infty$

Пусть

$$\frac1p+\frac1q=1, \qquad q=\frac p{p-1}.$$

По неравенству Гёльдера

$$|\varphi_n(f)| \le \|f\|_p\|h_n\|_q.$$

Причём

$$\|h_n\|_q = \left(\int_0^n |e^{2\pi int}|^q\,dt\right)^{1/q} = \left(\int_0^n1\,dt\right)^{1/q} =n^{1/q}.$$

Следовательно

$$\boxed{\|\varphi_n\|=n^{1/q}=n^{1-1/p}.}$$

В частности,

$$\|\varphi_n\|\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty.$$

Если бы $\varphi_n$ сходилась по норме к некоторому функционалу $\varphi$, то последовательность её норм была бы ограничена:

$$\|\varphi_n\| \le \|\varphi_n-\varphi\|+\|\varphi\|.$$

Получили противоречие.

Поэтому

$$\boxed{\varphi_n\text{ не сходится по норме на }L^p,\quad p>1.}$$

А поточечно?

Здесь ответ уже отличается от случая $L^1$:

$$\boxed{\text{нет, на }L^p,\ p>1,\text{ последовательность не сходится поточечно на всём пространстве}.}$$

Самый короткий способ доказать это — принцип равномерной ограниченности. Если бы для каждого $f\in L^p$ последовательность чисел

$$\varphi_n(f)$$

сходилась, то она была бы ограничена:

$$\sup_n|\varphi_n(f)|<\infty \qquad\forall f\in L^p.$$

Так как $L^p$ — банахово пространство, из принципа Банаха–Штейнгауза следовало бы

$$\sup_n\|\varphi_n\|<\infty.$$

Но

$$\|\varphi_n\|=n^{1/q}\to\infty.$$

Противоречие.

Можно даже построить явный $f$, на котором сходимости нет. Положим

$$N_k=2^{k+1}-2,\qquad N_0=0,$$

так что

$$N_k-N_{k-1}=2^k,$$

и определим

$$f(t)= \sum_{k=1}^\infty 2^{-k}e^{-2\pi iN_kt}\, \mathbf1_{(N_{k-1},N_k]}(t).$$

Проверим, что $f\in L^p$:

$$\|f\|_p^p = \sum_{k=1}^\infty 2^{-kp}(N_k-N_{k-1}) = \sum_{k=1}^\infty2^{-kp}2^k = \sum_{k=1}^\infty2^{-k(p-1)} <\infty.$$

Теперь рассмотрим $n=N_k$. Все интегралы по предыдущим блокам равны нулю, поскольку там интегрируется экспонента с ненулевой целой частотой по отрезку с целыми концами. На последнем блоке экспоненты сокращаются:

$$\varphi_{N_k}(f) = 2^{-k}\int_{N_{k-1}}^{N_k}1\,dt = 2^{-k}\cdot2^k =1.$$

А при $n=N_k+1$ аналогично получается

$$\varphi_{N_k+1}(f)=0.$$

То есть у одного и того же $f\in L^p$ есть две подпоследовательности:

$$\varphi_{N_k}(f)=1, \qquad \varphi_{N_k+1}(f)=0.$$

Следовательно, $\varphi_n(f)$ не имеет предела.

Итог

$$\boxed{ \begin{array}{c|c|c} & \text{по норме} & \text{поточечно}\\ \hline L^1(0,\infty) & \text{нет} & \text{да, к }0\\[2mm] L^p(0,\infty),\ p>1 & \text{нет} & \text{нет} \end{array}}$$

То есть главный эффект задачи: на $L^1$ нормы функционалов остаются равными $1$, но осцилляции дают поточечную сходимость к нулю; при $p>1$ нормы уже растут как $n^{1-1/p}$, и поточечная сходимость на всём $L^p$ невозможна.