答案是

$$\boxed{x=8}.$$

下面给出一个完整的上界策略，以及严格的 $7$ 次不可能证明。

先把四种颜色记为 $1,2,3,4$，并把初始上层顺序记成

$$1234.$$

下层未知排列记为 $p$。记 $s_i$ 为交换上层第 $i,i+1$ 个杯子，例如

$$1234\xrightarrow{s_2}1324.$$

每次交换后都可以立即询问匹配数；询问本身不计交换次数，所以可以假定每次交换后都问。

---

一、一个关键事实

对两个排列 $q,p$，记

$$d(q,p)$$

为把 $q$ 用相邻交换变成 $p$ 所需的最少次数，也就是它们之间的 Kendall 距离。

对固定目标 $p$，从当前排列做一次相邻交换时，距离一定恰好变化 $1$：

• 若距离减 $1$，称为一次好交换；
• 若距离增 $1$，称为一次坏交换。

如果初始距离是 $d$，整个过程中做了 $b$ 次坏交换，那么最终到达目标所需的总交换数必定是

$$\boxed{d+2b}.$$

证明很简单。设好交换共有 $g$ 次，则距离从 $d$ 降到 $0$，所以

$$g-b=d.$$

总交换数是

$$g+b=d+2b.$$

这个公式是下界证明的核心。

特别地，如果要求 7 次以内：

• 初始距离为 $4$ 的排列最多只能容许 1 次坏交换；
• 初始距离为 $2$ 的排列最多只能容许 2 次坏交换。

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二、证明 8 次一定足够

下面直接给出一个确定策略。

一旦某一步已经唯一确定了下层排列，就停止试探，直接用最短相邻交换把上层排成它；所需次数就是当前的 $d(q,p)$。

初始先询问一次，设回答为 $r_0$。

4 个位置的匹配数不可能恰好为 3，所以只有 $0,1,2,4$ 四种情况。

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情形 A：$r_0=4$

已经全部匹配。

交换数为 $0$。

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情形 B：$r_0=2$

此时下层只能是交换了两个元素的排列：

$$2134,\ 1324,\ 1243,\ 3214,\ 1432,\ 4231.$$

先做

$$1234\xrightarrow{s_2}1324.$$

询问得 $r_1$。

若 $r_1=4$

则

$$p=1324,$$

1 次结束。

若 $r_1=0$

则唯一可能是

$$p=4231.$$

此时

$$d(1324,4231)=6,$$

所以总共

$$1+6=7.$$

若 $r_1=1$

剩下

$$\{2134,1243,3214,1432\}.$$

做

$$1324\xrightarrow{s_1}3124.$$

若回答为 $2$，候选为

$$\{2134,3214\}.$$

再做

$$3124\xrightarrow{s_2}3214.$$

此时：

• 对 $2134$，回答为 $1$；
• 对 $3214$，回答为 $4$。

于是唯一确定。前者当前剩余距离为 $2$，后者已经完成，因此最多分别为

$$3+2=5,\qquad 3.$$

若在 $3124$ 时回答为 $0$，候选为

$$\{1243,1432\}.$$

仍做

$$3124\xrightarrow{s_2}3214.$$

此时：

• 对 $1243$，回答为 $1$；
• 对 $1432$，回答为 $0$。

两者均被区分，而且从 $3214$ 到这两个目标的距离都为 $4$。

所以总交换数至多

$$3+4=7.$$

因此 $r_0=2$ 分支最多 7 次。

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三、$r_0=0$ 的策略

初始无位置匹配时，共有 9 种排列。

先做

$$1234\xrightarrow{s_2}1324.$$

询问 $r_1$。

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1. $r_1=2$

唯一是

$$p=4321.$$

而

$$d(1324,4321)=5,$$

故总次数

$$1+5=6.$$

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2. $r_1=0$

候选恰为

$$\{2143,2413,3142,3412\}.$$

做

$$1324\xrightarrow{s_1}3124.$$

此时：

$$\begin{array}{c|cccc} p&2143&2413&3142&3412\\ \hline \text{匹配数}&1&0&2&1 \end{array}$$

所以：

• 回答 $0$：$p=2413$，此时剩余距离 $5$，总共 $2+5=7$；
• 回答 $2$：$p=3142$，剩余距离 $1$，总共 3；
• 回答 $1$：剩下 $\{2143,3412\}$。

最后一种情况下做

$$3124\xrightarrow{s_2}3214.$$

此时：

$$2143\longmapsto0,\qquad 3412\longmapsto2.$$

两者都被确定，而且从 $3214$ 到各自目标的距离均为 $3$。

总共至多

$$3+3=6.$$

---

3. $r_1=1$

候选恰为

$$\{2341,3421,4123,4312\}.$$

做

$$1324\xrightarrow{s_1}3124.$$

得到：

$$\begin{array}{c|cccc} p&2341&3421&4123&4312\\ \hline \text{匹配数}&0&2&2&0 \end{array}$$

回答 $0$

剩

$$\{2341,4312\}.$$

做

$$3124\xrightarrow{s_2}3214.$$

回答分别为

$$0,\quad1.$$

于是确定。

从 $3214$ 到两目标的距离分别为 $2,4$，故总数至多

$$3+4=7.$$

回答 $2$

剩

$$\{3421,4123\}.$$

先做

$$3124\xrightarrow{s_3}3142.$$

此时两者的回答都为 $1$，尚不能区别。

再做

$$3142\xrightarrow{s_2}3412.$$

这时

$$3421\longmapsto2,\qquad 4123\longmapsto0.$$

于是确定。

从 $3412$ 到两目标的距离分别为 $1,3$，因此至多

$$4+3=7.$$

所以 $r_0=0$ 整个分支最多 7 次。

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四、$r_0=1$ 的策略——这里会真正用到第 8 次

初始恰有一个位置正确时，可能的 8 个排列为

$$1342,\ 1423,\ 3241,\ 4213,\ 2431,\ 4132,\ 2314,\ 3124.$$

先做

$$1234\xrightarrow{s_1}2134.$$

询问 $r_1$。

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若 $r_1=0$

候选为

$$\{1342,1423,3241,4213\}.$$

再做

$$2134\xrightarrow{s_2}2314.$$

此时

$$\begin{array}{c|cccc} p&1342&1423&3241&4213\\ \hline \text{匹配数}&1&0&0&1 \end{array}$$

回答 $1$

候选

$$\{1342,4213\}.$$

做

$$2314\xrightarrow{s_1}3214.$$

回答分别为

$$0,\quad2.$$

因此确定。

此时到两个目标的剩余距离分别为

$$3,\quad5.$$

所以最坏为

$$3+5=\boxed8.$$

回答 $0$

候选

$$\{1423,3241\}.$$

做

$$2314\xrightarrow{s_3}2341.$$

回答分别为

$$0,\quad2.$$

因此确定。

剩余距离分别为

$$5,\quad1,$$

故最坏仍为

$$3+5=\boxed8.$$

---

若 $r_1=2$

候选为

$$\{2431,4132,2314,3124\}.$$

同样做

$$2134\xrightarrow{s_2}2314.$$

得到

$$\begin{array}{c|cccc} p&2431&4132&2314&3124\\ \hline \text{匹配数}&1&0&4&1 \end{array}$$

所以：

• 回答 $4$：已经是 $2314$，2 次结束；
• 回答 $0$：唯一为 $4132$。从 $2314$ 到 $4132$ 的距离是 $6$，故总计 $$2+6=\boxed8;$$
• 回答 $1$：候选为 $$\{2431,3124\}.$$

最后做

$$2314\xrightarrow{s_1}3214.$$

回答分别为

$$0,\quad2.$$

剩余距离分别为 $3,1$，总共至多 6。

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因此，以上所有初始情况都能在

$$\boxed{8}$$

次相邻交换之内完成。

所以已经证明

$$x\le 8.$$

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五、证明 7 次绝不可能

现在证明真正困难的方向：

$$x>7.$$

我们只考虑初始询问回答

$$r_0=1.$$

如果连这一种情况都无法保证 7 次，就足够了。

任何策略得到 $r_0=1$ 后，第一次真正的交换只能是

$$s_1,\quad s_2,\quad s_3.$$

下面逐一排除。

由于左右完全对称，只需分别讨论：

1. 第一次是中间交换 $s_2$；
2. 第一次是边缘交换 $s_1$。

$s_3$ 是 $s_1$ 的镜像。

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六、第一次若做 $s_2$，7 次必败

做

$$1234\xrightarrow{s_2}1324.$$

假设裁判回答 $0$。

那么下层恰好是以下四者之一：

$$3241,\quad4213,\quad2431,\quad4132.$$

这四个排列与 $1234$ 的距离全都是

$$4.$$

而如果总交换次数要求 $\le7$，前面证明过：距离 $4$ 的目标最多容许 一次坏交换。

来看第一次 $s_2$ 对四个目标是好还是坏：

$$\begin{array}{c|cccc} p&3241&4213&2431&4132\\ \hline s_2&好&坏&坏&好 \end{array}$$

所以对

$$4213,\quad2431$$

而言，唯一的一次坏交换额度已经用完。

因此第二次交换必须同时对这两个目标都是好交换。

当前上层为 $1324$。检查三个可能交换：

对于 $4213$，好交换是

$$\{s_2,s_3\};$$

对于 $2431$，好交换是

$$\{s_1,s_2\}.$$

唯一共同的好交换是

$$s_2.$$

所以为了不超过 7 次，第二步被迫撤销第一步：

$$1324\xrightarrow{s_2}1234.$$

此时四个目标仍然无法区分——裁判又回答初始的 $1$。

更重要的是：

• 对 $4213,2431$：第一次坏、第二次好；
• 对 $3241,4132$：第一次好、第二次坏。

所以四个距离为 4 的候选现在都已经各自用掉了唯一的一次坏交换额度。

从现在开始，任何下一步都必须同时对四个目标是好交换。

但在 $1234$：

$$\begin{array}{c|c} p&\text{好交换}\\ \hline 3241&\{s_1,s_2\}\\ 4213&\{s_1,s_3\}\\ 2431&\{s_1,s_3\}\\ 4132&\{s_2,s_3\} \end{array}$$

四个集合的交集为空。

也就是说，无论下一步交换什么，都必然对至少一个仍可能的目标产生第二次坏交换，于是那个目标至少需要

$$4+2\cdot2=8$$

次交换。

矛盾。

所以若第一次选 $s_2$，不可能保证 7 次。

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七、第一次若做 $s_1$，也必败

现在第一次做

$$1234\xrightarrow{s_1}2134.$$

考虑裁判回答

$$0.$$

此时候选恰为

$$C=\{1342,1423,3241,4213\}.$$

它们的初始距离分别为

$$2,2,4,4.$$

而第一次 $s_1$：

• 对 $1342,1423$ 是坏交换；
• 对 $3241,4213$ 是好交换。

接下来第二步只有三种可能。

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第二步为 $s_2$

得到

$$2134\xrightarrow{s_2}2314.$$

若裁判回答 $1$，候选恰为

$$\{1342,4213\}.$$

现在看坏交换次数：

对 $1342$

初始距离是 $2$。

• 第一步 $s_1$：坏；
• 第二步 $s_2$：仍然坏。

已经用了两次坏交换。

而距离 2 的目标若要在 7 次以内完成，最多只能有两次坏交换，因为

$$2+2\cdot2=6,\qquad 2+2\cdot3=8.$$

所以之后每一步都必须是好交换。

对 $4213$

初始距离是 $4$。

• 第一步好；
• 第二步坏。

它也已经用完唯一的一次坏交换额度。

所以从 $2314$ 出发，下一步必须同时对这两个目标是好交换。

对 $1342$，好交换为

$$\{s_1,s_2\};$$

对 $4213$，好交换为

$$\{s_2,s_3\}.$$

唯一共同选择是

$$s_2,$$

即退回

$$2314\xrightarrow{s_2}2134.$$

可是两者在 $2134$ 时仍给相同的回答 $0$。

并且在 $2134$：

• 对 $1342$，唯一好交换是 $s_1$；
• 对 $4213$，唯一好交换是 $s_3$。

没有共同好交换。

因此 7 次不可能。

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第二步为 $s_3$

得到

$$2134\xrightarrow{s_3}2143.$$

此时集合 $C$ 中四个候选的回答竟然全部都是

$$1.$$

所以一点也没有区分开。

只看其中两个：

$$1342,\quad3241.$$

对 $1342$：

• 第一步 $s_1$ 坏；
• 第二步 $s_3$ 坏。

它已经用掉距离 2 目标允许的两次坏交换。

对 $3241$：

• 第一步好；
• 第二步坏。

它已经用掉距离 4 目标允许的唯一坏交换。

于是以后必须同时对二者做好交换。

在 $2143$：

$$1342:\{s_1,s_3\},$$ $$3241:\{s_2,s_3\}.$$

唯一共同好交换是

$$s_3,$$

于是又被迫回到

$$2134.$$

两者仍然无法区分，而在 $2134$：

$$1342\text{ 只有 }s_1\text{ 是好交换},$$ $$3241\text{ 只有 }s_2\text{ 是好交换}.$$

不存在共同选择。

所以也不可能保证 7 次。

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第二步为 $s_1$

这只是把第一步撤销：

$$2134\xrightarrow{s_1}1234.$$

候选集合仍是 $C$。

此时对两个距离为 4 的候选

$$3241,\quad4213$$

而言：

• 第一步是好交换；
• 第二步撤销，所以是坏交换。

两者都已经用完唯一的一次坏交换额度。

因此下一步必须同时是它们的好交换。

在 $1234$：

$$3241:\{s_1,s_2\},$$ $$4213:\{s_1,s_3\}.$$

唯一共同选择是

$$s_1.$$

于是第三步又被迫回到

$$2134.$$

两目标仍都给回答 $0$。

但在 $2134$：

$$3241\text{ 唯一好交换是 }s_2,$$ $$4213\text{ 唯一好交换是 }s_3.$$

又没有共同好交换。

矛盾。

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因此第一次做 $s_1$ 的所有可能第二步都无法保证 7 次。

第一次做 $s_3$ 与此完全左右对称，同样不可能。

所以无论第一次交换是什么，均不存在 7 次必胜策略。

于是

$$x\ge8.$$

结合前面构造出的 8 次策略，

$$x\le8.$$

最终得到

$$\boxed{\boxed{x=8}}.$$

也就是说，最优策略的最坏情况恰好需要 8 次相邻交换。