بلی. من فصل‌های ۳ تا ۵ را به شکل تشریح سوال + روش حل + جواب نهایی آماده می‌کنم؛ چون حجم سه فصل زیاد است، آن را منظم و بخش‌بخش می‌فرستم تا نه خیلی کوتاه شود و نه بیش از حد طولانی. در فهرست کتاب، فصل ۳ «تابع»، فصل ۴ «توابع مثلثاتی» و فصل ۵ «تطبیقات مثلثات» آمده است. (G10-Dr-Math.pdf)

ترتیب کار

فصل ۳: تابع شامل تشخیص تابع، قیمت تابع، ناحیه تعریف، گراف تابع، تابع زوج و تاق، انتقال گراف، عملیات تابع، ترکیب تابع، تابع معکوس، تابع درجه اول، تابع درجه دوم و تابع نسبتی.

فصل ۴: توابع مثلثاتی شامل زاویه، درجه و رادیان، زوایای هم‌نهایت یا کوترمینل، نسبت‌های مثلثاتی، زوایای خاص، علامت نسبت‌ها در ربع‌ها، روابط مثلثاتی و گراف‌های sin, cos, tan و غیره.

فصل ۵: تطبیقات مثلثات شامل فورمول‌های مجموع و تفاضل زاویه‌ها، دوچند و سه‌چند زاویه، تبدیل جمع به ضرب، تبدیل ضرب به جمع، طول قوس، مساحت قطاع، مساحت مثلث، فورمول هیرون، شعاع دایره محیطی و محاطی.

---

فصل سوم: تابع — تشریح منظم سوالات مهم

۱. تشخیص تابع از روی جوره‌های مرتب

قاعده: یک رابطه زمانی تابع است که هر عضو اول فقط یک تصویر داشته باشد. یعنی برای یک مقدار $x$، نباید دو مقدار متفاوت $y$ وجود داشته باشد.

نمونه سوال:
آیا رابطه زیر تابع است؟

$$f=\{(1,2),(2,3),(3,2),(4,1)\}$$

حل:
اعضای اول عبارت‌اند از:

$$1,2,3,4$$

هیچ عضو اول تکرار نشده است؛ پس هر $x$ فقط یک $y$ دارد.

جواب:
این رابطه تابع است.

---

۲. وقتی رابطه تابع نیست

نمونه سوال:
آیا رابطه زیر تابع است؟

$$g=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}$$

حل:
در این رابطه، عدد $1$ دو تصویر دارد:

$$1 \to 2$$

و

$$1 \to 3$$

پس یک $x$ به دو $y$ مختلف رفته است.

جواب:
تابع نیست.

---

۳. قیمت تابع

قاعده: برای یافتن قیمت تابع، عدد داده‌شده را به جای $x$ قرار می‌دهیم.

نمونه سوال:
اگر

$$f(x)=2x+3$$

باشد، $f(4)$ را دریابید.

حل:

$$f(4)=2(4)+3$$ $$f(4)=8+3=11$$

جواب نهایی:

$$f(4)=11$$

---

۴. ناحیه تعریف تابع

قاعده کلی:
ناحیه تعریف یعنی تمام مقادیر مجاز $x$. در بیشتر پولینوم‌ها، ناحیه تعریف تمام اعداد حقیقی است. اما در کسرها، مخرج نباید صفر شود.

نمونه سوال:
ناحیه تعریف تابع زیر را دریابید:

$$f(x)=\frac{1}{x-3}$$

حل:
مخرج نباید صفر شود:

$$x-3\neq 0$$ $$x\neq 3$$

جواب:
ناحیه تعریف:

$$\mathbb{R}-\{3\}$$

یعنی همه اعداد حقیقی به جز ۳.

---

۵. تابع زوج و تابع تاق

تابع زوج: اگر

$$f(-x)=f(x)$$

باشد، تابع زوج است. گراف آن نسبت به محور $y$ متناظر است.

تابع تاق: اگر

$$f(-x)=-f(x)$$

باشد، تابع تاق است. گراف آن نسبت به مبدأ متناظر است.

نمونه سوال:
تابع زیر زوج است یا تاق؟

$$f(x)=x^2$$

حل:

$$f(-x)=(-x)^2=x^2$$

چون

$$f(-x)=f(x)$$

پس تابع زوج است.

جواب:
تابع زوج است.

---

۶. عملیات روی توابع

اگر دو تابع $f(x)$ و $g(x)$ داشته باشیم، می‌توانیم جمع، تفریق، ضرب و تقسیم آن‌ها را انجام دهیم.

نمونه سوال:
اگر

$$f(x)=x+2$$

و

$$g(x)=x-1$$

باشد، $f(x)+g(x)$ را دریابید.

حل:

$$f(x)+g(x)=(x+2)+(x-1)$$ $$=2x+1$$

جواب:

$$f(x)+g(x)=2x+1$$

---

۷. ترکیب توابع

قاعده:
در ترکیب تابع، یک تابع را داخل تابع دیگر قرار می‌دهیم.

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

نمونه سوال:
اگر

$$f(x)=2x+1$$

و

$$g(x)=x-3$$

باشد، $f(g(x))$ را دریابید.

حل:
اول $g(x)$ را داخل $f$ قرار می‌دهیم:

$$f(g(x))=f(x-3)$$

چون

$$f(x)=2x+1$$

پس به جای $x$، $x-3$ می‌گذاریم:

$$f(x-3)=2(x-3)+1$$ $$=2x-6+1$$ $$=2x-5$$

جواب:

$$f(g(x))=2x-5$$

---

۸. تابع معکوس

روش کلی یافتن معکوس:

۱. به جای $f(x)$، $y$ می‌گذاریم.
۲. جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم.
۳. معادله را برای $y$ حل می‌کنیم.

نمونه سوال:
معکوس تابع زیر را دریابید:

$$f(x)=2x+3$$

حل:

$$y=2x+3$$

جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم:

$$x=2y+3$$

حالا برای $y$ حل می‌کنیم:

$$x-3=2y$$ $$y=\frac{x-3}{2}$$

جواب:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$

---

۹. تابع درجه اول

تابع درجه اول به شکل زیر است:

$$f(x)=ax+b$$

گراف آن یک خط مستقیم است. اگر $a>0$ باشد تابع متزاید است، و اگر $a<0$ باشد تابع متناقص است.

نمونه سوال:
گراف تابع

$$f(x)=2x+1$$

متزاید است یا متناقص؟

حل:
ضریب $x$ برابر است با $2$. چون:

$$2>0$$

تابع متزاید است.

جواب:
تابع متزاید است.

---

۱۰. تابع درجه دوم

تابع درجه دوم به شکل زیر است:

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

گراف آن سهمی است.

نقطه رأس سهمی:

$$x=\frac{-b}{2a}$$

نمونه سوال:
نقطه رأس تابع زیر را دریابید:

$$f(x)=x^2-4x+5$$

حل:
در این تابع:

$$a=1,\quad b=-4$$

پس:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2$$

حالا $x=2$ را در تابع می‌گذاریم:

$$f(2)=2^2-4(2)+5$$ $$=4-8+5=1$$

جواب:
نقطه رأس:

$$(2,1)$$

---

جمع‌بندی کوتاه فصل سوم

در فصل سوم باید بیشتر روی این نکات مسلط شوید:

تابع یعنی هر $x$ فقط یک تصویر داشته باشد. برای قیمت تابع، عدد را به جای $x$ قرار می‌دهیم. در ناحیه تعریف، باید مراقب مخرج صفر و جذر منفی باشیم. برای تابع معکوس، جای $x$ و $y$ عوض می‌شود. تابع درجه اول گراف خطی دارد و تابع درجه دوم گراف سهمی دارد.

در پیام بعدی، فصل چهارم «توابع مثلثاتی» را به همین شکل، با سوال و جواب تشریحی، ادامه می‌دهم.