В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 найди синус угла ме...

Пусть ребро куба равно $3$. Введём координаты:

$$A(0,0,0),\quad B(3,0,0),\quad C(3,3,0),\quad D(0,3,0),$$ $$A_1(0,0,3),\quad C_1(3,3,3),\quad D_1(0,3,3).$$

Плоскость $(A_1C_1C)$ проходит через точки с условием

$$x=y,$$

поэтому её нормальный вектор можно взять как

$$\vec n=(1,-1,0).$$

Направляющий вектор диагонали $BD_1$:

$$\vec{BD_1}=D_1-B=(0,3,3)-(3,0,0)=(-3,3,3).$$

Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между прямой и нормалью к плоскости:

$$\sin\varphi=\frac{|\vec{BD_1}\cdot \vec n|}{|\vec{BD_1}|\cdot |\vec n|}.$$

Считаем:

$$\vec{BD_1}\cdot \vec n=(-3)\cdot 1+3\cdot(-1)+3\cdot0=-6,$$ $$|\vec{BD_1}|=\sqrt{9+9+9}=3\sqrt3,\qquad |\vec n|=\sqrt2.$$

Тогда

$$\sin\varphi=\frac{6}{3\sqrt3\cdot\sqrt2} =\frac{2}{\sqrt6} =\frac{\sqrt6}{3}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt6}{3}}$$