**提示词：** “你是一个资深的高中数学老师。请帮我收集 8 道经典的**排列问题**。 **核心...

下面给你整理 8 道经典的“定序型排列题”。默认都是“排成一排”，且对象都互不相同。

先给一个统一模板，便于学生总结：

• 解法一（除法 / 消序法）：先把“普通条件”处理好，再把定序元素内部原本会出现的全排列数除掉。
• 解法二（选位 / 空位法）：先给“定序元素”选位置，因为相对顺序已经固定，所以只选位，不再排列；再排列其余元素。

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1.【基础】5 人排队，甲必须在乙左边

题目：
甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排，要求 甲必须在乙的左边。求不同排法数。

解法一（除法 / 消序法）

5 人全排列共有：

$$A_5^5=5!$$

其中甲、乙内部原本有 $2!$ 种先后次序，而满足题意的只有其中 1 种，所以：

$$\frac{A_5^5}{A_2^2}=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60$$

解法二（选位 / 空位法）

先从 5 个位置中选出 2 个位置给甲、乙。
由于要求“甲在乙左边”，所以这 2 个位置一旦选定，甲乙的放法只有 1 种。

再将其余 3 人排列：

$$C_5^2\cdot A_3^3=10\cdot 6=60$$

答案：

$$60$$

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2.【基础】6 本书中，语、数、英保持固定相对顺序

题目：
语、数、英、物、化、史 6 本不同的书排在书架上一层，要求 语在数左边，数在英左边。求不同排法数。

解法一（除法 / 消序法）

6 本书全排列：

$$A_6^6=6!$$

其中“语、数、英”内部原本有 $3!$ 种顺序，而符合题意的只有 1 种，所以：

$$\frac{A_6^6}{A_3^3}=\frac{6!}{3!}=\frac{720}{6}=120$$

解法二（选位 / 空位法）

先从 6 个位置中选出 3 个位置给语、数、英：

$$C_6^3$$

因为三者顺序固定为“语—数—英”，所以选完位置后放法只有 1 种。
其余 3 本书再排列：

$$C_6^3\cdot A_3^3=20\cdot 6=120$$

答案：

$$120$$

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3.【中等】甲在乙左边，且丙丁必须相邻

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一排，要求 甲在乙左边，且 丙、丁必须相邻。求不同排法数。

解法一（除法 / 消序法）

先把“丙丁相邻”处理成一个整体，记作 $(丙丁)$。
这样共有 5 个对象：甲、乙、$(丙丁)$、戊、己。

这 5 个对象全排列：

$$A_5^5$$

而丙丁内部还可交换：

$$2!$$

再对“甲乙的先后”消序，除以：

$$A_2^2=2!$$

所以：

$$A_5^5\cdot 2!\div A_2^2=5!\cdot 2!\div 2!=120$$

解法二（选位 / 空位法）

先把丙丁看作一个整体，共有 5 个“对象位置”。

从这 5 个位置中选 2 个给甲、乙，且甲在乙左边，所以只需选位：

$$C_5^2$$

剩下 3 个对象 $(丙丁)$、戊、己 排列：

$$A_3^3$$

再乘上丙丁内部交换：

$$2!$$

所以：

$$C_5^2\cdot A_3^3\cdot 2!=10\cdot 6\cdot 2=120$$

答案：

$$120$$

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4.【中等】甲在乙左边，且丙不能站两端

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人排成一排，要求 甲在乙左边，且 丙不能站在最左端或最右端。求不同排法数。

解法一（除法 / 消序法）

先满足“丙不能站两端”：丙有 5 个位置可选。
选定丙的位置后，其余 6 人全排列：

$$A_6^6$$

再对甲乙的先后消序，除以 $2!$：

$$5\cdot A_6^6\div A_2^2=5\cdot 6!\div 2=5\cdot 720\div 2=1800$$

解法二（选位 / 空位法）

先给丙选位置，有 5 种。
在剩余 6 个位置中，选 2 个给甲、乙，且要求甲在乙左边，所以：

$$C_6^2$$

其余 4 人排列：

$$A_4^4$$

因此：

$$5\cdot C_6^2\cdot A_4^4=5\cdot 15\cdot 24=1800$$

答案：

$$1800$$

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5.【中等】语、数、英定序，且物、化必须相邻

题目：
语、数、英、物、化、史、地 7 本不同的书排成一排，要求 语在数左边，数在英左边，且 物、化必须相邻。求不同排法数。

解法一（除法 / 消序法）

先把“物、化相邻”看作一个整体。
于是共有 6 个对象：语、数、英、$(物化)$、史、地。

这 6 个对象全排列：

$$A_6^6$$

物、化内部还可交换：

$$2!$$

语、数、英原本内部有 $3!$ 种次序，但只允许 1 种，所以除以：

$$A_3^3=3!$$

得：

$$A_6^6\cdot 2!\div A_3^3=6!\cdot 2!\div 3!=720\cdot 2\div 6=240$$

解法二（选位 / 空位法）

先把“物化”看作一个整体，共 6 个对象位置。

从中选 3 个位置给语、数、英，且顺序固定，所以只需选位：

$$C_6^3$$

剩余 3 个对象 $(物化)$、史、地 排列：

$$A_3^3$$

再乘上物化内部交换：

$$2!$$

因此：

$$C_6^3\cdot A_3^3\cdot 2!=20\cdot 6\cdot 2=240$$

答案：

$$240$$

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6.【中等】两组元素同时定序：甲在乙左边，丙在丁左边

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛 8 人排成一排，要求 甲在乙左边，且 丙在丁左边。求不同排法数。

解法一（除法 / 消序法）

8 人全排列：

$$A_8^8=8!$$

甲乙内部原有 $2!$ 种顺序；丙丁内部也有 $2!$ 种顺序。
都固定后，应除以：

$$2!\cdot 2!$$

所以：

$$A_8^8\div A_2^2\div A_2^2=\frac{8!}{2!\cdot 2!}=\frac{40320}{4}=10080$$

解法二（选位 / 空位法）

先从 8 个位置中选 2 个给甲、乙：

$$C_8^2$$

甲在乙左边，所以只选位。
再从剩余 6 个位置中选 2 个给丙、丁：

$$C_6^2$$

丙在丁左边，也只选位。
其余 4 人排列：

$$A_4^4$$

所以：

$$C_8^2\cdot C_6^2\cdot A_4^4=28\cdot 15\cdot 24=10080$$

答案：

$$10080$$

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7.【中等】甲、乙、丙定序，且丁不能站两端

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛 8 人排成一排，要求 甲在乙左边，乙在丙左边，且 丁不能站在两端。求不同排法数。

解法一（除法 / 消序法）

先处理“丁不能站两端”，丁有 6 个位置可选。
选定丁后，其余 7 人全排列：

$$A_7^7$$

再对甲、乙、丙内部顺序消序，除以：

$$A_3^3=3!$$

故：

$$6\cdot A_7^7\div A_3^3=6\cdot 7!\div 3!=6\cdot 5040\div 6=5040$$

解法二（选位 / 空位法）

先给丁选位置，有 6 种。
在剩余 7 个位置中选 3 个给甲、乙、丙，且顺序固定，所以：

$$C_7^3$$

剩余 4 人排列：

$$A_4^4$$

因此：

$$6\cdot C_7^3\cdot A_4^4=6\cdot 35\cdot 24=5040$$

答案：

$$5040$$

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8.【中等】两组同时定序：甲乙丙固定顺序，且丁在戊左边

题目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛 8 人排成一排，要求 甲在乙左边，乙在丙左边，且 丁在戊左边。求不同排法数。

解法一（除法 / 消序法）

8 人全排列：

$$A_8^8=8!$$

其中甲乙丙内部原有 $3!$ 种顺序，丁戊内部原有 $2!$ 种顺序。
都固定后应除以：

$$3!\cdot 2!$$

所以：

$$A_8^8\div A_3^3\div A_2^2=\frac{8!}{3!\cdot 2!}=\frac{40320}{12}=3360$$

解法二（选位 / 空位法）

先从 8 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_8^3$$

由于三者顺序固定，所以只需选位。
再从剩余 5 个位置中选 2 个给丁、戊：

$$C_5^2$$

且丁在戊左边，也只需选位。
最后其余 3 人排列：

$$A_3^3$$

故：

$$C_8^3\cdot C_5^2\cdot A_3^3=56\cdot 10\cdot 6=3360$$

答案：

$$3360$$

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如果你要，我下一步可以把这 8 道题再整理成一份适合课堂讲义的标准版：题目区、解答区、方法总结区分开展示。