**提示词：** “你是一个资深的高中数学老师。请帮我收集 8 道经典的**排列问题**。 **核心...

下面按你的要求整理成 8 道题。为统一书写，记 $A_n^n=n!$。题中“甲、乙、丙按顺序”都表示他们的相对顺序固定，但不要求相邻。

---

1.【基础】两人定序

题目：
6 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，要求甲必须站在乙的左边。问共有多少种不同排法？

解法一（除法/消序法）：
先不考虑“甲在乙左边”这一限制，6 人全排列共有 $A_6^6=6!$ 种。
对于甲、乙两人来说，内部共有 $A_2^2=2!$ 种次序，但其中只有 1 种符合“甲在乙左边”。
所以排法数为

$$\frac{A_6^6}{A_2^2}=\frac{6!}{2!}=360.$$

解法二（选位法/空位法）：
先从 6 个位置中选出甲、乙的位置，共

$$C_6^2$$

种。
选好后，较左的位置给甲，较右的位置给乙；其余 4 人任意排列，有 $4!$ 种。
所以排法数为

$$C_6^2\cdot 4!=15\times 24=360.$$

答案： $360$ 种。

---

2.【基础】三人定序

题目：
7 本不同的书排成一列，其中数学、物理、化学三本书要求从左到右的顺序固定为“数学在物理左边，物理在化学左边”。问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）：
7 本书全排列共有 $A_7^7=7!$ 种。
数学、物理、化学这 3 本书内部若不加限制，共有 $A_3^3=3!$ 种次序，但只有 1 种符合题意。
所以排法数为

$$\frac{A_7^7}{A_3^3}=\frac{7!}{3!}=840.$$

解法二（选位法/空位法）：
先从 7 个位置中选出 3 个给数学、物理、化学，共

$$C_7^3$$

种。
选好后按固定顺序放入；其余 4 本书任意排列，有 $4!$ 种。
所以排法数为

$$C_7^3\cdot 4!=35\times 24=840.$$

答案： $840$ 种。

---

3.【中等】定序 + 某人不能站两端

题目：
7 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁不能站在最左端或最右端。问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）：
先满足“丁不能站两端”：丁有 5 个中间位置可选。
丁的位置确定后，其余 6 人任意排列，共有

$$5\cdot 6!$$

种。
再对甲、乙、丙做“消序”，除以 $3!$：

$$\frac{5\cdot 6!}{3!}=5\cdot \frac{720}{6}=600.$$

解法二（选位法/空位法）：
先给丁选位置：有 5 种。
再从剩余 6 个位置中选出 3 个给甲、乙、丙，共

$$C_6^3$$

种；按固定顺序放入。
剩余 3 人任意排列，有 $3!$ 种。
所以排法数为

$$5\cdot C_6^3\cdot 3!=5\times 20\times 6=600.$$

答案： $600$ 种。

---

4.【中等】定序 + 另外两人必须相邻

题目：
8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁与戊必须相邻。问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）：
先把丁、戊看成一个整体，这个整体内部有 $2!$ 种排法。
于是共有 7 个单位参加排列：$(丁戊)$、甲、乙、丙、己、庚、辛。
若暂不考虑甲、乙、丙的定序，则共有

$$7!\cdot 2!$$

种。
再除以甲、乙、丙内部的 $3!$：

$$\frac{7!\cdot 2!}{3!}=\frac{5040\times 2}{6}=1680.$$

解法二（选位法/空位法）：
先选丁、戊所占的相邻位置段。8 个位置中，长度为 2 的相邻位置段共有 7 个。
再排丁、戊内部顺序，有 $2!$ 种。
剩下 6 个位置中，选 3 个给甲、乙、丙，共

$$C_6^3$$

种，按固定顺序放入。
其余 3 人任意排列，有 $3!$ 种。
所以排法数为

$$7\cdot 2!\cdot C_6^3\cdot 3! =7\times 2\times 20\times 6 =1680.$$

答案： $1680$ 种。

---

5.【中等】定序 + 另外三人必须相邻

题目：
9 本不同的书排成一列，其中甲、乙、丙三本书要求从左到右顺序固定；另外丁、戊、己三本书必须排在一起。问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）：
先把丁、戊、己看成一个整体，这个整体内部有 $3!$ 种排法。
于是共有 7 个单位参加排列：$(丁戊己)$、甲、乙、丙及其余 3 本书。
若暂不考虑甲、乙、丙的定序，则共有

$$7!\cdot 3!$$

种。
再除以甲、乙、丙内部的 $3!$：

$$\frac{7!\cdot 3!}{3!}=7!=5040.$$

解法二（选位法/空位法）：
先确定“丁、戊、己”这个三连块的位置。9 个位置中，长度为 3 的连续位置段共有 7 个。
该三连块内部有 $3!$ 种排法。
剩余 6 个位置中，选 3 个给甲、乙、丙，共

$$C_6^3$$

种，并按固定顺序放入。
其余 3 本书任意排列，有 $3!$ 种。
所以排法数为

$$7\cdot 3!\cdot C_6^3\cdot 3! =7\times 6\times 20\times 6 =5040.$$

答案： $5040$ 种。

---

6.【中等】两组元素同时定序

题目：
8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，同时丁必须站在戊的左边。问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）：
8 人全排列共有 $8!$ 种。
甲、乙、丙内部有 $3!$ 种顺序，但只允许 1 种；
丁、戊内部有 $2!$ 种顺序，但只允许 1 种。
所以排法数为

$$\frac{8!}{3!\cdot 2!} =\frac{40320}{12} =3360.$$

解法二（选位法/空位法）：
先从 8 个位置中选 3 个给甲、乙、丙，共

$$C_8^3$$

种，并按固定顺序放入。
再从剩余 5 个位置中选 2 个给丁、戊，共

$$C_5^2$$

种，并把较左的位置给丁、较右的位置给戊。
剩余 3 人任意排列，有 $3!$ 种。
所以排法数为

$$C_8^3\cdot C_5^2\cdot 3! =56\times 10\times 6 =3360.$$

答案： $3360$ 种。

---

7.【中等】定序 + 指定两人占两端

题目：
8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁、戊两人必须站在最左端和最右端。问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）：
先安排两端：丁、戊占两端有 $2!$ 种。
中间 6 个位置由甲、乙、丙、己、庚、辛来排，若不考虑定序，共有 $6!$ 种。
再除以甲、乙、丙内部的 $3!$：

$$\frac{2!\cdot 6!}{3!} =\frac{2\times 720}{6} =240.$$

解法二（选位法/空位法）：
先安排丁、戊到两端，有 $2!$ 种。
再从中间 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙，共

$$C_6^3$$

种，并按固定顺序放入。
其余 3 人任意排列，有 $3!$ 种。
所以排法数为

$$2!\cdot C_6^3\cdot 3! =2\times 20\times 6 =240.$$

答案： $240$ 种。

---

8.【中等】定序 + 某人位置固定

题目：
7 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚站成一排，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁固定站在正中间（第 4 个位置）。问共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）：
丁的位置固定后，其余 6 人任意排列，共有

$$6!$$

种。
再除以甲、乙、丙内部的 $3!$：

$$\frac{6!}{3!} =\frac{720}{6} =120.$$

解法二（选位法/空位法）：
除去第 4 个位置后，还剩 6 个位置。
从这 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙，共

$$C_6^3$$

种，并按固定顺序放入。
剩余 3 人任意排列，有 $3!$ 种。
所以排法数为

$$C_6^3\cdot 3! =20\times 6 =120.$$

答案： $120$ 种。

---

小结：定序题的两种标准套路

1. 消序法
先把“其他条件”处理完，算出总排法；再把定序元素内部多算的排列数除掉。
核心形式就是：

$$\text{排法数}=\frac{\text{满足其他条件的总排法}}{m!}$$

其中 $m$ 是“相对顺序固定”的元素个数。

2. 选位法
先给定序元素选位置：

$$C_n^m$$

然后按既定顺序依次放进去，再排列剩余元素。

这 8 道题正好覆盖了课堂上最常见的几种变式：纯定序、不能在两端、相邻、成块、两组定序、占两端、位置固定。用来做一组“定序专题训练”很合适。