下面给你整理一份适合高中阶段系统训练的【排列组合中的排数字问题】专项题库。
我按你指定的 4 类常见题型分类，每类给出 3 道经典题，难度从“基础—中档—拔高”递进，并严格按照你要求的格式来写。

为方便统一，先说明两点：

1. 除特别说明外，默认“组成的数字不重复”。
2. 默认排成的是十进制整数，首位不能为 0。

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一、含“0”的排数字问题（首位不能为 0 的限制）

题 1

【题目难度】 基础

【题目描述】
用数字 $0,1,2,3,4$ 组成没有重复数字的五位数，共可以组成多少个？

【解题思路】
首位不能为 0，故应优先安排首位，这是典型的优先排特殊位置法。

【详细解答】
五位数的首位只能从 $1,2,3,4$ 中选，所以首位有 4 种选法。
其余 4 个位置再把剩下的 4 个数字全排列即可，有

$$4!=24$$

种。

因此共有

$$4\times 24=96$$

个五位数。

【最终答案】 $96$ 个。

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题 2

【题目难度】 中档

【题目描述】
用数字 $0,0,1,2,3$ 组成不同的五位数，共可以组成多少个？

【解题思路】
先求这 5 个数字的所有不同排列数，再减去首位为 0 的情况，属于间接法 + 首位限制处理。

【详细解答】
先不考虑首位是否为 0。

由于有两个 0 相同，所以这 5 个数字的不同排列数为

$$\frac{5!}{2!}=60$$

接着减去“首位为 0”的情况。
若首位固定为 0，则剩下的 4 个数字是 $0,1,2,3$，它们互不相同，不同排列数为

$$4!=24$$

所以符合题意的五位数有

$$60-24=36$$

个。

【最终答案】 $36$ 个。

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题 3

【题目难度】 拔高

【题目描述】
用数字 $0,1,2,3,4,5$ 可重复使用组成五位数，且这个五位数至少含有一个 0，这样的五位数共有多少个？

【解题思路】
“至少有一个 0”适合用间接法（补集思想）：
先求所有五位数，再减去“一个 0 都没有”的五位数。

【详细解答】
先求由 $0,1,2,3,4,5$ 组成的所有五位数个数。

• 首位不能为 0，所以首位有 $5$ 种选择（只能选 $1,2,3,4,5$）。
• 后 4 位每位都可从 6 个数字中任取，因为允许重复，所以共有

$$6^4$$

种。

故所有五位数共有

$$5\times 6^4=5\times 1296=6480$$

个。

再求不含 0 的五位数。
这时 5 个位置都只能从 $1,2,3,4,5$ 中选，且允许重复，所以共有

$$5^5=3125$$

个。

因此至少含有一个 0 的五位数有

$$6480-3125=3355$$

个。

【最终答案】 $3355$ 个。

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二、奇偶数与整除限制问题

题 4

【题目难度】 基础

【题目描述】
用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的三位偶数，共有多少个？

【解题思路】
偶数的个位必须是偶数，所以应先安排个位，这是典型的优先排末位法。

【详细解答】
要组成三位偶数，个位只能选偶数 $2$ 或 $4$，共有 2 种选法。

个位确定后：

• 百位可从剩余 4 个数字中选 1 个，有 4 种；
• 十位再从剩余 3 个数字中选 1 个，有 3 种。

所以共有

$$2\times 4\times 3=24$$

个三位偶数。

【最终答案】 $24$ 个。

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题 5

【题目难度】 中档

【题目描述】
用数字 $1,2,3,4,5,6$ 组成没有重复数字的四位数，其中能被 3 整除的四位数有多少个？

【解题思路】
能被 3 整除看的是各位数字和是否能被 3 整除。
因此先选 4 个数字，使它们的和能被 3 整除，再对所选数字排列。

【详细解答】
把这 6 个数字按除以 3 的余数分类：

• 余 0：$\{3,6\}$
• 余 1：$\{1,4\}$
• 余 2：$\{2,5\}$

设所选 4 个数字中，分别从这三类中取 $a,b,c$ 个，则

$$a+b+c=4$$

且所选数字和能被 3 整除，需要满足

$$b+2c\equiv 0\pmod 3$$

同时每类最多只能取 2 个，因为每类只有 2 个数字。

经过分类可得满足条件的取法只有两种：

第一类：$(a,b,c)=(2,1,1)$

即从余 0 类取 2 个，从余 1 类取 1 个，从余 2 类取 1 个。

• 余 0 类只能全取：1 种
• 余 1 类取 1 个：2 种
• 余 2 类取 1 个：2 种

所以选数字的方法有

$$1\times 2\times 2=4$$

种。

第二类：$(a,b,c)=(0,2,2)$

即余 1 类和余 2 类都各取 2 个。

这种选法只有

$$1$$

种。

所以一共选出符合条件的 4 个数字的方式有

$$4+1=5$$

种。

每选出一组 4 个不同数字，都可以排成

$$4!=24$$

个四位数。

故符合条件的四位数共有

$$5\times 24=120$$

个。

【最终答案】 $120$ 个。

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题 6

【题目难度】 拔高

【题目描述】
用数字 $0,1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，其中既是偶数又能被 3 整除的五位数共有多少个？

【解题思路】
“既是偶数又能被 3 整除”等价于“能被 6 整除”。
先利用“被 3 整除”看数字和，再结合“偶数”看个位，属于分类讨论法。

【详细解答】
从 $0,1,2,3,4,5$ 中选 5 个数字组成五位数，等价于“去掉 1 个数字”。

原 6 个数字和为

$$0+1+2+3+4+5=15$$

若去掉数字 $x$，则所用 5 个数字的和为

$$15-x$$

要使这个五位数能被 3 整除，必须有

$$15-x\equiv 0\pmod 3$$

即

$$x\equiv 0\pmod 3$$

所以只能去掉 $0$ 或 $3$。

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情况 1：去掉 0

此时所用数字为 $1,2,3,4,5$，它们的和为 15，能被 3 整除。

要构成偶数，个位只能是 $2$ 或 $4$，有 2 种。
个位确定后，其余 4 个数字全排列：

$$4!=24$$

所以本情况共有

$$2\times 24=48$$

个。

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情况 2：去掉 3

此时所用数字为 $0,1,2,4,5$，它们的和为 12，能被 3 整除。

要构成偶数，个位可以是 $0,2,4$。

① 个位是 0

前 4 位就是 $1,2,4,5$ 的全排列，共

$$4!=24$$

个。

② 个位是 2

前四位由 $0,1,4,5$ 排成，但首位不能为 0。

• 首位可从 $1,4,5$ 中选：3 种
• 其余 3 位全排列：$3!=6$

所以共有

$$3\times 6=18$$

个。

③ 个位是 4

同理，也有

$$18$$

个。

因此本情况共有

$$24+18+18=60$$

个。

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综上，符合条件的五位数共有

$$48+60=108$$

个。

【最终答案】 $108$ 个。

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三、大小限制与字典序问题

题 7

【题目难度】 基础

【题目描述】
用数字 $0,1,2,3,4$ 组成没有重复数字的四位数，其中大于 $2300$ 的四位数有多少个？

【解题思路】
比较大小时，从高位开始逐位判断，属于按最高位分类讨论。

【详细解答】
要使四位数大于 $2300$，先看千位。

情况 1：千位是 3 或 4

这时无论后面怎么排，所得四位数一定大于 $2300$。

• 千位有 2 种选法；
• 剩下 3 位从余下 4 个数字中排 3 个：

$$4\times 3\times 2=24$$

所以本情况共有

$$2\times 24=48$$

个。

情况 2：千位是 2

这时必须继续比较百位。

剩余数字是 $0,1,3,4$。

• 若百位是 4，则一定大于 $2300$；
• 若百位是 3，则也大于 $2300$；
• 若百位是 0 或 1，则所得数小于 $2300$，不合题意。

所以百位可选 $3$ 或 $4$，有 2 种。

百位确定后，十位和个位从剩余 3 个数字中选 2 个排列：

$$3\times 2=6$$

所以本情况共有

$$2\times 6=12$$

个。

综上，所求个数为

$$48+12=60$$

【最终答案】 $60$ 个。

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题 8

【题目难度】 中档

【题目描述】
将用数字 $1,2,3,4,5$ 组成的所有没有重复数字的五位数按从小到大排列，求 $35241$ 排在第几个？

【解题思路】
这是典型的字典序排名问题。
方法是：从左到右，统计在当前位比它小的数字开头时，后面还能形成多少个数。

【详细解答】
求 $35241$ 前面有多少个数。

第 1 位：3

比 3 小的可选数字有 $1,2$，共 2 个。
每种开头后面 4 位都可任意排列，有

$$4!=24$$

个。

所以这部分共有

$$2\times 24=48$$

个。

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第 2 位：5（前提第 1 位已经是 3）

剩余数字是 $1,2,4,5$。
比 5 小的有 $1,2,4$，共 3 个。

每种情况下，后 3 位可任意排列，有

$$3!=6$$

个。

所以这部分共有

$$3\times 6=18$$

个。

累计共有

$$48+18=66$$

个。

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第 3 位：2（前两位已是 35）

剩余数字是 $1,2,4$。
比 2 小的只有 1 个数字：$1$。

后 2 位可任意排列，有

$$2!=2$$

个。

累计共有

$$66+2=68$$

个。

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第 4 位：4（前三位已是 352）

剩余数字是 $1,4$。
比 4 小的只有 $1$。

后 1 位只有

$$1!=1$$

种。

累计共有

$$68+1=69$$

个。

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因此 $35241$ 前面共有 69 个数，所以它排在

$$69+1=70$$

位。

【最终答案】 第 $70$ 个。

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题 9

【题目难度】 拔高

【题目描述】
将用数字 $1,2,3,4,5$ 组成的所有没有重复数字的五位数按从小到大排列，求第 $45$ 个数是多少？

【解题思路】
这是逆向字典序问题。
按“每一位固定后会形成多少个数”的块状结构，逐位确定。

【详细解答】
所有五位数共有

$$5!=120$$

个。

每一个首位固定后，后面 4 位可以形成

$$4!=24$$

个数。

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第 1 位

按首位分块：

• 首位是 1：第 1～24 个
• 首位是 2：第 25～48 个
• 首位是 3：第 49～72 个
• …

第 45 个数落在“首位是 2”这一块中。

所以第 1 位是 2。

在这一块中，它是第

$$45-24=21$$

个。

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第 2 位

剩余数字为 $1,3,4,5$。

首位确定为 2 后，每一个第二位固定，后面 3 位可以形成

$$3!=6$$

个数。

按第二位分块：

• 第二位是 1：这一块中第 1～6 个
• 第二位是 3：第 7～12 个
• 第二位是 4：第 13～18 个
• 第二位是 5：第 19～24 个

第 21 个落在“第二位是 5”这一块中。

所以第 2 位是 5。

在这一块中，它是第

$$21-18=3$$

个。

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第 3 位

剩余数字为 $1,3,4$。

每一个第三位固定后，后面 2 位可以形成

$$2!=2$$

个数。

分块：

• 第三位是 1：第 1～2 个
• 第三位是 3：第 3～4 个
• 第三位是 4：第 5～6 个

第 3 个落在“第三位是 3”这一块。

所以第 3 位是 3。

在这一块中，它是第

$$3-2=1$$

个。

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第 4 位

剩余数字为 $1,4$。

每一个第四位固定后，后面 1 位只有

$$1!=1$$

个数。

第 1 个说明第四位取较小的数字，即 1，最后一位自然是 4。

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所以第 45 个数是

$$25314$$

【最终答案】 $25314$。

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四、特定位置 / 元素限制问题

题 10

【题目难度】 基础

【题目描述】
用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，要求数字 3 必须在百位上，这样的五位数共有多少个？

【解题思路】
先固定受限制的位置，再排其他数字，属于优先排特殊位置法。

【详细解答】
五位数中百位固定为 3。
其余 4 个位置由 $1,2,4,5$ 四个数字全排列：

$$4!=24$$

所以满足条件的五位数共有

$$24$$

个。

【最终答案】 $24$ 个。

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题 11

【题目难度】 中档

【题目描述】
用数字 $1,2,3,4,5,6$ 组成没有重复数字的六位数，要求数字 1 和 2 必须相邻，这样的六位数共有多少个？

【解题思路】
“必须相邻”是典型的捆绑法：把相邻元素视为一个整体。

【详细解答】
把数字 1 和 2 看成一个整体，有两种内部顺序：

$$12,\ 21$$

即“整体”有 2 种形式。

然后把这个整体与另外 4 个数字 $3,4,5,6$ 一起排，共有 5 个对象。
这 5 个对象的排列数为

$$5!=120$$

再乘上整体内部的 2 种顺序，所以共有

$$2\times 120=240$$

个。

【最终答案】 $240$ 个。

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题 12

【题目难度】 拔高

【题目描述】
用数字 $1,2,3,4,5,6$ 组成没有重复数字的六位数，要求：

• 数字 1 和 2 不相邻；
• 数字 3 必须在数字 4 的左边。

问这样的六位数共有多少个？

【解题思路】
先处理“3 在 4 左边”的顺序限制，再处理“1 和 2 不相邻”。
适合使用先排受顺序限制元素 + 插空法。

【详细解答】

第一步：先排 $3,4,5,6$

先把 $3,4,5,6$ 排成一行。

这 4 个数字全排列共有

$$4!=24$$

种。

但题目要求 3 必须在 4 的左边。
对于任意一种 $3,4,5,6$ 的排列，交换 3 和 4 的位置后，会得到另一种排列；这两种排列中恰有一种满足“3 在 4 左边”。

所以满足“3 在 4 左边”的排法有

$$\frac{4!}{2}=12$$

种。

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第二步：把 1 和 2 插入进去，且不相邻

设排好的 4 个数字为：

$$\_\,a\,\_\,b\,\_\,c\,\_\,d\,\_$$

一共形成 5 个空位。

为了使 1 和 2 不相邻，它们必须插入不同的空位中。
先从 5 个空位中选 2 个：

$$\binom{5}{2}=10$$

再把 1、2 安排到这两个空位中，有

$$2!=2$$

种方法。

所以第二步共有

$$10\times 2=20$$

种方法。

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第三步：乘法原理

因此满足题意的六位数共有

$$12\times 20=240$$

个。

【最终答案】 $240$ 个。

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这类题的核心方法总结

做“排数字问题”时，通常优先判断它属于哪一种模型：

1. 含 0 的问题

先看首位能不能取 0，通常先安排首位，或者用“总数减去首位为 0 的情况”。

2. 奇偶与整除问题

• 偶数：先看个位；
• 能被 5 整除：个位看 0 或 5；
• 能被 3、9 整除：看各位数字和；
• 同时满足多个整除条件：常用分类讨论。

3. 大小与字典序问题

从最高位开始逐位比较。
遇到“排在第几个”或“第几个数是多少”，本质上就是字典序计数。

4. 位置与相邻限制问题

• “必须在某位置”：先固定该位置；
• “必须相邻”：捆绑法；
• “不能相邻”：插空法或间接法；
• 同时有顺序限制：先处理顺序，再插空或分类。

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如果你愿意，我下一步可以继续给你整理一份
《排列组合中的排数字问题——题型方法清单 + 易错点总结 + 10道提升训练》。