下面给你整理一份可直接用于课堂讲解与学生训练的专项题库。

排列组合中的排数字问题专项题库

使用说明：
默认都在十进制下讨论；未特别说明时，数字不重复使用；“排在第几个”均按从小到大排列。

先抓住这 6 个核心方法：
含“0”先看首位限制；偶数、5 的倍数先看末位；3 的倍数先看数字和；相邻问题常用捆绑法；不相邻问题常用插空法；大小与字典序问题常用前缀分块计数法。

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一、含“0”的排数字问题（首位不能为 0）

题1

【题目难度】基础

【题目描述】
用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的四位数？

【解题思路】
首位不能为 0，先排首位，再排其余三位，属于优先排特殊位置法。

【详细解答】
四位数的首位只能从 1，2，3，4，5 中选，共有 5 种选法。
首位确定后，剩下 5 个数字中再选 3 个依次排在后面三位上：

5 × 5 × 4 × 3 = 300

所以，满足条件的四位数共有 300 个。

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题2

【题目难度】中档

【题目描述】
用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中必须含有数字 0，这样的四位数有多少个？

【解题思路】
先求所有合法四位数总数，再减去“不含 0”的个数，属于间接法。

【详细解答】
先求所有没有重复数字的四位数个数：

首位不能为 0，所以首位有 5 种选法；
后面三位从剩下 5 个数字中选 3 个排列：

5 × 5 × 4 × 3 = 300

再求不含 0 的四位数个数：
只能从 1，2，3，4，5 中选 4 个并排列：

5 × 4 × 3 × 2 = 120

因此，含有 0 的四位数个数为：

300 - 120 = 180

所以，满足条件的四位数共有 180 个。

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题3

【题目难度】拔高

【题目描述】
用数字 0，0，1，2，3 这五个数字恰好各用一次，可以组成多少个不同的五位数？

【解题思路】
这是含有重复元素的排数字问题。先求这 5 个数字的不同全排列数，再减去首位为 0 的不合法情况，属于重复元素排列 + 间接法。

【详细解答】
先求 0，0，1，2，3 的不同全排列数。
因为有两个 0 相同，所以不同排列数为：

5! / 2! = 60

接着求首位为 0 的排列数。
若首位固定为 0，则剩下 4 个数字为 0，1，2，3，它们互不相同，可以排：

4! = 24

所以合法五位数个数为：

60 - 24 = 36

因此，可以组成 36 个不同的五位数。

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二、奇偶数与整除限制问题

题4

【题目难度】基础

【题目描述】
用数字 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位偶数，有多少个？

【解题思路】
偶数看个位，先排个位，再排首位和中间两位，属于优先排末位法。

【详细解答】
要组成四位偶数，个位必须是偶数，只能从 2，4，6 中选，共 3 种选法。

个位确定后，千位可从剩下 5 个数字中任取 1 个；
百位、十位再从剩下数字中依次选：

3 × 5 × 4 × 3 = 180

所以，满足条件的四位偶数共有 180 个。

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题5

【题目难度】中档

【题目描述】
用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中能被 5 整除的有多少个？

【解题思路】
能被 5 整除的数，个位只能是 0 或 5。按个位分类讨论，属于分类讨论法。

【详细解答】
一个数能被 5 整除，当且仅当个位是 0 或 5。

情况 1：个位是 0

此时前四位要从 1，2，3，4，5 中选 4 个并排列：

5 × 4 × 3 × 2 = 120

情况 2：个位是 5

此时首位不能为 0，所以首位只能从 1，2，3，4 中选，共 4 种。
首位确定后，中间三位从剩下 4 个数字中选 3 个排列：

4 × 4 × 3 × 2 = 96

所以总数为：

120 + 96 = 216

因此，满足条件的五位数共有 216 个。

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题6

【题目难度】拔高

【题目描述】
用数字 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中能被 3 整除的有多少个？

【解题思路】
利用“一个数能被 3 整除，当且仅当各位数字和能被 3 整除”。本题适合转化为“舍去哪两个数字”，属于整除特征 + 转化法。

【详细解答】
六个数字的和为：

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

21 是 3 的倍数。

要组成一个能被 3 整除的四位数，就要求所选 4 个数字的和也是 3 的倍数。
因为总和是 21，所以“所选 4 个数字的和是 3 的倍数”等价于“舍去的 2 个数字之和是 3 的倍数”。

从 1，2，3，4，5，6 中选 2 个，且和为 3 的倍数的组合有：

• 1 和 2，和为 3
• 1 和 5，和为 6
• 2 和 4，和为 6
• 3 和 6，和为 9
• 4 和 5，和为 9

共 5 组。

每舍去一组，就剩下 4 个数字，这 4 个数字可组成的四位数有：

4! = 24

因此总数为：

5 × 24 = 120

所以，满足条件的四位数共有 120 个。

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三、大小限制与字典序问题

题7

【题目难度】基础

【题目描述】
用数字 1，2，3，4，5 恰好各用一次组成五位数，其中大于 32000 的有多少个？

【解题思路】
比较大小时先看最高位，再逐位比较，属于前缀分类讨论法。

【详细解答】
要使这个五位数大于 32000，先比较首位。

情况 1：首位是 4 或 5

这时一定大于 32000。
首位有 2 种选法，其余 4 个数字任意排列：

2 × 4! = 2 × 24 = 48

情况 2：首位是 3

这时要继续比较第二位。

• 若第二位是 1，则数形如 31***，小于 32000，不合要求；
• 若第二位是 2，则数形如 32***，一定大于 32000；
• 若第二位是 4 或 5，也一定大于 32000。

所以第二位可选 2，4，5，共 3 种。
剩余 3 个数字任意排列：

3 × 3! = 3 × 6 = 18

因此总数为：

48 + 18 = 66

所以，大于 32000 的五位数共有 66 个。

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题8

【题目难度】中档

【题目描述】
用数字 0，1，2，3，4 恰好各用一次组成所有没有重复数字的五位数，并按从小到大排列，问数 23014 排在第几个？

【解题思路】
按字典序逐位统计“在它前面有多少个数”，最后再加 1，属于前缀分块计数法。

【详细解答】
因为这些数全都是五位数，所以按从小到大排列，本质上就是按字典序排列。

我们统计排在 23014 前面的数有多少个。

第一步：首位比 2 小

首位不能是 0，所以首位比 2 小只能是 1。
此时后面 4 个数字任意排列：

4! = 24

第二步：首位固定为 2，第二位比 3 小

剩余数字是 0，1，3，4。
其中比 3 小的是 0 和 1，共 2 种。

每确定一个第二位，后面 3 位可任意排列：

2 × 3! = 2 × 6 = 12

第三步：前两位固定为 23，第三位比 0 小

没有比 0 更小的数字，所以这一部分为 0。

第四步：前三位固定为 230，第四位比 1 小

剩余数字是 1 和 4，没有比 1 更小的，所以这一部分也为 0。

因此，排在 23014 前面的数共有：

24 + 12 = 36

所以 23014 的序号是：

36 + 1 = 37

因此，23014 排在第 37 个。

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题9

【题目难度】拔高

【题目描述】
用数字 1，2，3，4，5，6 恰好各用一次组成所有六位数，并按从小到大排列，求第 400 个数是多少。

【解题思路】
每确定一位，后面剩余数字的排列数就形成一个“块”。逐块定位，属于分块计数法。

【详细解答】
六位数总数为：

6! = 720

我们找第 400 个数。

第一步：确定首位

每个首位固定后，后面 5 位可排列：

5! = 120

因此：

• 首位为 1：第 1 到第 120 个
• 首位为 2：第 121 到第 240 个
• 首位为 3：第 241 到第 360 个
• 首位为 4：第 361 到第 480 个

所以第 400 个数首位是 4。
并且它是在“首位为 4”这一块中的第：

400 - 360 = 40 个

第二步：确定第二位

剩余数字为 1，2，3，5，6。
每确定第二位，后面 4 位可排列：

4! = 24

于是：

• 第二位为 1：这一块中第 1 到第 24 个
• 第二位为 2：这一块中第 25 到第 48 个

第 40 个落在第二块，所以第二位是 2。
并且它是在“42****”这一块中的第：

40 - 24 = 16 个

第三步：确定第三位

剩余数字为 1，3，5，6。
每确定第三位，后面 3 位可排列：

3! = 6

于是：

• 第三位为 1：第 1 到第 6 个
• 第三位为 3：第 7 到第 12 个
• 第三位为 5：第 13 到第 18 个

第 16 个落在第三块，所以第三位是 5。
并且它是在“425***”这一块中的第：

16 - 12 = 4 个

第四步：确定第四位

剩余数字为 1，3，6。
每确定第四位，后面 2 位可排列：

2! = 2

于是：

• 第四位为 1：第 1 到第 2 个
• 第四位为 3：第 3 到第 4 个

所以第四位是 3。
此时在该块中的位置为：

4 - 2 = 2 个

第五步：确定第五位和第六位

剩余数字为 1，6。
每确定第五位，后面只有 1 种排法。

• 第五位为 1：第 1 个
• 第五位为 6：第 2 个

所以第五位是 6，第六位是 1。

因此，第 400 个数是 425361。

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四、特定位置/元素限制问题

题10

【题目难度】基础

【题目描述】
用数字 1，2，3，4，5 恰好各用一次组成五位数，若数字 3 必须在百位，共有多少个不同的五位数？

【解题思路】
先固定特殊位置，再排其余数字，属于优先排特殊位置法。

【详细解答】
五位数的百位是中间这一位。
将数字 3 固定在百位后，剩余 1，2，4，5 四个数字排在其余四个位置上：

4! = 24

所以，满足条件的五位数共有 24 个。

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题11

【题目难度】中档

【题目描述】
用数字 1，2，3，4，5，6 恰好各用一次组成六位数，若数字 2 与数字 3 必须相邻，共有多少个不同的六位数？

【解题思路】
把相邻的两个数字看成一个整体，属于捆绑法。

【详细解答】
把“2 与 3 相邻”看成一个整体。
这个整体可能是 23，也可能是 32，共有 2 种内部排法。

将这个整体与另外四个数字 1，4，5，6 一起看作 5 个元素进行排列：

5! = 120

再考虑整体内部的两种顺序，所以总数为：

2 × 5! = 2 × 120 = 240

因此，满足条件的六位数共有 240 个。

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题12

【题目难度】拔高

【题目描述】
用数字 1，2，3，4，5，6 恰好各用一次组成六位数，若数字 1 与数字 2 不相邻，共有多少个不同的六位数？

【解题思路】
先排其余数字，再把 1 和 2 插入空位中，属于插空法。

【详细解答】
先排 3，4，5，6 四个数字，有：

4! = 24

例如排成：

3 4 5 6

它们之间及两端一共有 5 个空位：

_ 3 _ 4 _ 5 _ 6 _

为了使 1 与 2 不相邻，必须把 1 和 2 放入不同的空位中。

从 5 个空位中选 2 个放置 1 和 2，有：

C(5,2) = 10

并且 1、2 放入这两个空位时还有顺序之分，所以再乘：

2! = 2

因此总数为：

4! × C(5,2) × 2! = 24 × 10 × 2 = 480

所以，满足条件的六位数共有 480 个。

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小结：这类题的“见题识法”

1. 看到 0：先想首位能不能取 0。
2. 看到偶数、5 的倍数：先想个位。
3. 看到 3 的倍数、9 的倍数：先想数字和。
4. 看到“相邻”：优先考虑捆绑法。
5. 看到“不相邻”：优先考虑插空法或总数减相邻。
6. 看到“大于某数”“第几个数”：按前缀逐位分块统计。

若用于课堂，这 12 题很适合直接拆成“例题讲解 + 同类变式 + 限时训练”三组来使用。