logoChat01.ai

В треугольнике ABC сторона AC равна 215−−√, AB=BC....

Created on: January 11, 2026

Answered using GPT-5.2 Thinking by Chat01

Question

В треугольнике ABC сторона AC равна 215−−√, AB=BC. Вписанная окружность omega касается стороны AB в точке K. Отрезок CK пересекает omega в точке M. Известно, что длина отрезка MK равна 2. Найдите длину стороны BC. В ответ запишите квадрат полученной величины.

Python

python
import random, math
def ck_sq(a,x):
    h=math.sqrt(x*x - a*a/4)
    A=(-a/2,0); C=(a/2,0); B=(0,h)
    f=(a/2)/x
    K=(A[0]+f*(B[0]-A[0]), A[1]+f*(B[1]-A[1]))
    return (K[0]-C[0])**2+(K[1]-C[1])**2
for _ in range(5):
    a=10.0
    x=6.0
    print(ck_sq(a,x), (5*a*a)/4 - (a**3)/(2*x))
    break

Python

python
import sympy as sp, math
a=sp.sqrt(215)
x=sp.sqrt(215)*(213+sp.sqrt(219))/420
# coordinates
h=sp.sqrt(x**2 - (a/2)**2)
A=sp.Point(-a/2,0)
C=sp.Point(a/2,0)
B=sp.Point(0,h)
# incenter of triangle ABC
incenter=sp.geometry.Triangle(A,B,C).incenter
incenter_s=sp.N(incenter)
incenter_s


Point2D(0, 1.47824200982009)

Python

python
tri=sp.geometry.Triangle(A,B,C)
inc=tri.incircle
inc.center, inc.radius


(Point2D(0, -sqrt(219)*sqrt(319920 + 91590*sqrt(219))/357420 + 141*sqrt(319920 + 91590*sqrt(219))/119140),
 -141*sqrt(319920 + 91590*sqrt(219))/119140 + sqrt(219)*sqrt(319920 + 91590*sqrt(219))/357420)

Python

python
inc_center=sp.N(inc.center)
inc_r=float(sp.N(inc.radius))
inc_center, inc_r


(Point2D(0, 1.47824200982009), -1.478242009820088)

Python

python
lineAB=sp.Line(A,B)
K=lineAB.projection(inc.center)
sp.N(K), sp.N(K.distance(inc.center)), inc_r


(Point2D(-0.572829162352635, 2.84098416824747),
 1.47824200982009,
 -1.478242009820088)

Python

python
circle=sp.Circle(inc.center, abs(inc_r))
lineCK=sp.Line(C,K)
ints=circle.intersection(lineCK)
ints_s=[sp.N(p) for p in ints]
ints_s

Python

python
import numpy as np, math
a=float(math.sqrt(215))
x=float(sp.N(x))
h=math.sqrt(x*x - (a/2)**2)
A=np.array([-a/2,0.0]); C=np.array([a/2,0.0]); B=np.array([0.0,h])
# incenter numeric using weighted formula: (a* A + b*B + c*C)/perimeter? where a=|BC| etc
# sides: a_side=BC=x, b_side=CA=a, c_side=AB=x
a_side=x; b_side=a; c_side=x
per=a_side+b_side+c_side
I=(a_side*A + b_side*B + c_side*C)/per
# inradius = 2*Area/per
area=0.5*abs(np.cross(B-A, C-A))
r=2*area/per
I, r


(array([0.        , 1.47824201]), 1.4782420098200881)

Python

python
def proj_point_to_line(P, X1, X2):
    v=X2-X1
    t=np.dot(P-X1, v)/np.dot(v,v)
    return X1 + t*v
K=proj_point_to_line(I, A, B)
# Ensure K lies on segment AB between A and B
K


array([-0.57282916,  2.84098417])

Python

python
v=K-C
# Solve quadratic for t
# |C + t v - I|^2 = r^2
d=C-I
Aq=np.dot(v,v)
Bq=2*np.dot(d,v)
Cq=np.dot(d,d)-r*r
coeff=[Aq,Bq,Cq]
np.roots(coeff)


array([1.        , 0.76188561])

Python

python
t=0.76188561
M=C+t*v
MK=np.linalg.norm(M-K)
MK


1.9999999805528308

Python

python
x2=float(sp.N(x**2))
x2


63.2473255333256

Python

python
import sympy as sp
a=sp.sqrt(215)
expr = (a*(213+sp.sqrt(219))/420)**2
sp.simplify(expr)


3053*sqrt(219)/5880 + 163357/2940

Python

python
import math
math.gcd(326714,5880)


2

Thought

import math math.gcd(326714,5880)

2

Thought for 3m 42s

Answer

Обозначим AC=b=215AC=b=\sqrt{215}, а AB=BC=xAB=BC=x. Пусть вписанная окружность ω\omega касается ABAB в KK, BCBC в EE, ACAC в FF.

1) Сила точки CC

Полупериметр

s=x+x+b2=x+b2.s=\frac{x+x+b}{2}=x+\frac b2.

Длины касательных от CC к ω\omega:

CE=CF=s−AB=s−x=b2=2152.CE=CF=s-AB=s-x=\frac b2=\frac{\sqrt{215}}{2}.

Прямая CKCK пересекает ω\omega в точках MM и KK (причём MM лежит внутри отрезка CKCK), поэтому по силе точки CC:

CM⋅CK=CE2=(2152)2=2154.CM\cdot CK=CE^2=\left(\frac{\sqrt{215}}{2}\right)^2=\frac{215}{4}.

Так как MK=2MK=2 и CK=CM+MK=CM+2CK=CM+MK=CM+2, получаем

CM(CM+2)=2154  ⇒  CM2+2CM−2154=0.CM(CM+2)=\frac{215}{4}\;\Rightarrow\; CM^2+2CM-\frac{215}{4}=0.

Отсюда

CM=219−22,CK=CM+2=219+22.CM=\frac{\sqrt{219}-2}{2},\qquad CK=CM+2=\frac{\sqrt{219}+2}{2}.

Значит

CK2=(219+2)24=223+42194.CK^2=\frac{(\sqrt{219}+2)^2}{4}=\frac{223+4\sqrt{219}}{4}.

2) Теорема Стюарта для cevian CKCK

На стороне ABAB точка касания KK даёт

AK=s−BC=b2=2152,KB=x−2152.AK=s-BC=\frac b2=\frac{\sqrt{215}}{2},\qquad KB=x-\frac{\sqrt{215}}{2}.

Применим Стюарта в △ABC\triangle ABC для cevian CKCK к стороне ABAB:

(BC)2⋅AK+(AC)2⋅KB=AB(CK2+AK⋅KB).(BC)^2\cdot AK + (AC)^2\cdot KB = AB\left(CK^2 + AK\cdot KB\right).

То есть

x2⋅2152+215(x−2152)=x(CK2+2152(x−2152)).x^2\cdot \frac{\sqrt{215}}{2} + 215\left(x-\frac{\sqrt{215}}{2}\right) = x\left(CK^2+\frac{\sqrt{215}}{2}\left(x-\frac{\sqrt{215}}{2}\right)\right).

После сокращения получается удобный вид:

CK2=10754−2152152x.CK^2=\frac{1075}{4}-\frac{215\sqrt{215}}{2x}.

Приравниваем найденному CK2=223+42194CK^2=\dfrac{223+4\sqrt{219}}{4}:

223+42194=10754−2152152x\frac{223+4\sqrt{219}}{4}=\frac{1075}{4}-\frac{215\sqrt{215}}{2x} 2152152x=213−219⇒x=2152152(213−219)=215 (213+219)420.\frac{215\sqrt{215}}{2x}=213-\sqrt{219} \Rightarrow x=\frac{215\sqrt{215}}{2(213-\sqrt{219})} =\frac{\sqrt{215}\,(213+\sqrt{219})}{420}.

Требуется BC2=x2BC^2=x^2:

BC2=(215 (213+219)420)2=326714+30532195880.BC^2=\left(\frac{\sqrt{215}\,(213+\sqrt{219})}{420}\right)^2 =\frac{326714+3053\sqrt{219}}{5880}.

Ответ: 326714+30532195880\displaystyle \frac{326714+3053\sqrt{219}}{5880}.

Share this Q&A