出几道求导函数的高考题，要求：原函数的结构有一定的复杂度但是不失优美，导函数结构不能复杂，不涉及到高...

下面给你 8 道“高考风格”的求导题：原函数结构稍复杂、形式优美（常见于构造与化简），但导函数都比较干净，不涉及高数内容（只用到积/商/链式、指数对数、三角基本求导）。

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1）对数 + 幂：把“复杂”藏在对数里

求导：

$$y=\ln\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)$$

提示：$\ln\frac{A}{B}=\ln A-\ln B$

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2）指数“配对”：让指数项自己抵消

求导：

$$y=e^x\sin x+e^x\cos x$$

特点：原函数看着两项，求导后会出现漂亮的合并。

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3）三角复合：结构优雅，导数简单

求导：

$$y=\sin\left(\ln(1+x)\right)$$

提示：链式法则，外层 $\sin$，内层 $\ln(1+x)$。

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4）对称式商：商法则一出就“消”

求导：

$$y=\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}$$

特点：原式对称，化简后求导很快。

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5）根式 + 有理化风：看似根式，导数很规整

求导：

$$y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$$

提示：直接求导也行；想更“高考味”可以先配合有理化观察结构。

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6）构造积：原函数像“展开麻烦”，但导数整洁

求导：

$$y=(x^2+1)\,e^{x}$$

特点：积的结构标准，导数可一行整理成同因子形式。

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7）“平方嵌套”复合：外层平方让导数很干净

求导：

$$y=\left(\ln(x^2+1)\right)^2$$

提示：外层 $u^2$，内层 $u=\ln(x^2+1)$。

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8）三角恒等式改造题：原式优美，导数极简

求导：

$$y=\ln\left(\sec x+\tan x\right)$$

（定义域按可取处讨论） 特点：这是很经典的“高考压轴风格”结构，求导后会非常简。

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如果你希望我把这些题按“高考题面”包装成完整题（含定义域、化简步骤、标准答案、易错点），或者想要 同一难度再出 10 道（侧重对数/指数/三角/根式某一类），我可以继续给你成套版本。

下面给出前面 8 题的标准求导结果（含关键化简思路，尽量简洁）。

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1）$\displaystyle y=\ln\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)$

$$y=\ln(x^2+1)-\ln(x^2-1)$$ $$y'=\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2x}{x^2-1} =\frac{2x\big[(x^2-1)-(x^2+1)\big]}{(x^2+1)(x^2-1)} =-\frac{4x}{x^4-1}$$

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2）$\displaystyle y=e^x\sin x+e^x\cos x$

$$y'=e^x\sin x+e^x\cos x+e^x\cos x-e^x\sin x=2e^x\cos x$$

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3）$\displaystyle y=\sin(\ln(1+x))$

$$y'=\cos(\ln(1+x))\cdot \frac{1}{1+x} =\frac{\cos(\ln(1+x))}{1+x}$$

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4）$\displaystyle y=\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}$

先化简：

$$\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1},\quad \frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$$ $$y=2+\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x+1}$$ $$y'=-\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{2}{(x+1)^2}$$

也可合并成：

$$y'=\frac{2\big[(x-1)^2-(x+1)^2\big]}{(x^2-1)^2} =-\frac{8x}{(x^2-1)^2}$$

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5）$\displaystyle y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$

$$y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$

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6）$\displaystyle y=(x^2+1)e^x$

$$y'=(2x)e^x+(x^2+1)e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2$$

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7）$\displaystyle y=\big(\ln(x^2+1)\big)^2$

$$y'=2\ln(x^2+1)\cdot \frac{2x}{x^2+1} =\frac{4x\ln(x^2+1)}{x^2+1}$$

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8）$\displaystyle y=\ln(\sec x+\tan x)$

$$y'=\frac{\sec x\tan x+\sec^2 x}{\sec x+\tan x} =\frac{\sec x(\tan x+\sec x)}{\sec x+\tan x} =\sec x$$

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如果你想要我把每题的“易错点/得分点”也写出来（比如第 8 题如何一眼看出化简、定义域怎么写），我也可以直接补全。

下面再给你 同一难度 10 道（原函数有结构感但不繁琐，导函数尽量简洁），并直接给出 答案。

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1

题： $\displaystyle y=\ln\!\big(x+\sqrt{x^2+1}\big)$
答：

$$y'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}$$

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2

题： $\displaystyle y=\ln\!\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)$
答：

$$y'=\frac{2}{\cos x}=2\sec x$$

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3

题： $\displaystyle y=\arctan(2x)$
答：

$$y'=\frac{2}{1+4x^2}$$

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4

题： $\displaystyle y=e^{x}\,(\sin x-\cos x)$
答：

$$y'=2e^{x}\sin x$$

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5

题： $\displaystyle y=\frac{\ln x}{x}\quad(x>0)$
答：

$$y'=\frac{1-\ln x}{x^2}$$

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6

题： $\displaystyle y=\ln(x^2+x+1)$
答：

$$y'=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$$

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7

题： $\displaystyle y=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$
答：

$$y'=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$

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8

题： $\displaystyle y=(x+\frac1x)e^{x}\quad(x\neq 0)$
答：

$$y'=e^{x}\!\left(x+\frac1x+1-\frac1{x^2}\right)$$

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9

题： $\displaystyle y=\ln(1+\tan x)$（在可取处）
答：

$$y'=\frac{\sec^2 x}{1+\tan x}=\sec x(\sec x-\tan x)$$

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10

题： $\displaystyle y=\ln\!\left(\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+1}\right)$
答：

$$y'=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2+1}-\frac{2}{x+1}$$

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如果你希望我把这 10 道也按“高考卷面格式”排版（题号、定义域提示、关键步骤、最终结果一栏），我也可以继续整理成一份成套题。

下面再给你 同一难度 10 道，并直接给出 导数答案（均在函数可导的取值范围内）。

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1

题： $\;y=e^{-x}(\sin x+\cos x)$
答： $\;y'=-2e^{-x}\sin x$

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2

题： $\;y=\ln\!\left(\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\right)$
答： $\;y'=-\csc x$

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3

题： $\;y=\ln\!\left(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\right)$
答： $\;y'=\csc x$

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4

题： $\;y=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$
答： $\;y'=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

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5

题： $\;y=\arctan\!\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
答： $\;y'=\dfrac{1}{x^{2}+1}$

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6

题： $\;y=(x-1)e^{x}$
答： $\;y'=xe^{x}$

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7

题： $\;y=(x^{2}-2x+2)e^{x}$
答： $\;y'=x^{2}e^{x}$

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8

题： $\;y=\ln\!\left(\dfrac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}}\right)$
答： $\;y'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}-\dfrac{2}{x+1}$

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9

题： $\;y=x\ln x-x\quad(x>0)$
答： $\;y'=\ln x$

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10

题： $\;y=\ln(\sec x-\tan x)$
答： $\;y'=-\sec x$

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如果你还想要“更高考题面”的版本（附定义域、关键步骤、易错点、化简技巧），我也可以把这 20 题统一排成一套。