Mình giải chi tiết Bài 16 → Bài 20 theo đúng nội dung bạn gửi trong ảnh. (Trong ảnh hiện chưa có Bài 21 → Bài 26 , nên mình chưa thể giải tiếp phần đó; bạn gửi thêm trang chứa Bài 21–26 là mình làm nốt ngay.)
Bài 16 Biết σ 2 \sigma^2 σ 2 σ \sigma σ
Z = X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1) Z = σ / n X ˉ − μ ∼ N ( 0 , 1 ) 1) x ˉ − 2.14 σ n ≤ μ ≤ x ˉ + 2.14 σ n \bar x-2.14\frac{\sigma}{\sqrt n}\le \mu \le \bar x+2.14\frac{\sigma}{\sqrt n} x ˉ − 2.14 n σ ≤ μ ≤ x ˉ + 2.14 n σ
P ( ∣ Z ∣ ≤ 2.14 ) = 2 Φ ( 2.14 ) − 1 P\left(|Z|\le 2.14\right)=2\Phi(2.14)-1 P ( ∣ Z ∣ ≤ 2.14 ) = 2Φ ( 2.14 ) − 1 Φ ( 2.14 ) ≈ 0.98382 \Phi(2.14)\approx 0.98382 Φ ( 2.14 ) ≈ 0.98382
⇒ 2 ( 0.98382 ) − 1 = 0.96765 ≈ 96.76 % \Rightarrow\ 2(0.98382)-1=0.96765\approx 96.76\% ⇒ 2 ( 0.98382 ) − 1 = 0.96765 ≈ 96.76% 2) x ˉ − 2.49 σ n ≤ μ ≤ x ˉ + 2.49 σ n \bar x-2.49\frac{\sigma}{\sqrt n}\le \mu \le \bar x+2.49\frac{\sigma}{\sqrt n} x ˉ − 2.49 n σ ≤ μ ≤ x ˉ + 2.49 n σ
1 − α = 2 Φ ( 2.49 ) − 1 , Φ ( 2.49 ) ≈ 0.99361 1-\alpha=2\Phi(2.49)-1,\quad \Phi(2.49)\approx 0.99361 1 − α = 2Φ ( 2.49 ) − 1 , Φ ( 2.49 ) ≈ 0.99361 ⇒ 1 − α ≈ 0.98723 ≈ 98.72 % \Rightarrow 1-\alpha\approx 0.98723\approx 98.72\% ⇒ 1 − α ≈ 0.98723 ≈ 98.72% 3) x ˉ − 1.85 σ n ≤ μ ≤ x ˉ + 1.85 σ n \bar x-1.85\frac{\sigma}{\sqrt n}\le \mu \le \bar x+1.85\frac{\sigma}{\sqrt n} x ˉ − 1.85 n σ ≤ μ ≤ x ˉ + 1.85 n σ
1 − α = 2 Φ ( 1.85 ) − 1 , Φ ( 1.85 ) ≈ 0.96784 1-\alpha=2\Phi(1.85)-1,\quad \Phi(1.85)\approx 0.96784 1 − α = 2Φ ( 1.85 ) − 1 , Φ ( 1.85 ) ≈ 0.96784 ⇒ 1 − α ≈ 0.93569 ≈ 93.57 % \Rightarrow 1-\alpha\approx 0.93569\approx 93.57\% ⇒ 1 − α ≈ 0.93569 ≈ 93.57% 4) μ ≤ x ˉ + 2.00 σ n \mu \le \bar x+2.00\frac{\sigma}{\sqrt n} μ ≤ x ˉ + 2.00 n σ 1 phía )
Điều kiện tương đương Z ≥ − 2 Z\ge -2 Z ≥ − 2
P ( μ ≤ x ˉ + 2 σ n ) = P ( Z ≥ − 2 ) = Φ ( 2 ) P(\mu \le \bar x+2\frac{\sigma}{\sqrt n})=P(Z\ge -2)=\Phi(2) P ( μ ≤ x ˉ + 2 n σ ) = P ( Z ≥ − 2 ) = Φ ( 2 ) Φ ( 2 ) ≈ 0.97725 ⇒ độ tin cậy ≈ 97.72 % \Phi(2)\approx 0.97725\Rightarrow \text{độ tin cậy } \approx 97.72\% Φ ( 2 ) ≈ 0.97725 ⇒ đ ộ tin cậy ≈ 97.72% 5) x ˉ − 1.96 σ n ≤ μ \bar x-1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}\le \mu x ˉ − 1.96 n σ ≤ μ 1 phía )
P ( x ˉ − 1.96 σ n ≤ μ ) = Φ ( 1.96 ) ≈ 0.97500 P(\bar x-1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}\le \mu)=\Phi(1.96)\approx 0.97500 P ( x ˉ − 1.96 n σ ≤ μ ) = Φ ( 1.96 ) ≈ 0.97500 ⇒ độ tin cậy ≈ 97.50 % \Rightarrow \text{độ tin cậy } \approx 97.50\% ⇒ đ ộ tin cậy ≈ 97.50% Bài 17 Bảng (nghìn đồng):
x i : 700 , 750 , 800 , 850 , 900 , 950 , 1000 x_i:\ 700,750,800,850,900,950,1000 x i : 700 , 750 , 800 , 850 , 900 , 950 , 1000 f i : 2 , 3 , 6 , 8 , 7 , 4 , 5 f_i:\ 2,3,6,8,7,4,5 f i : 2 , 3 , 6 , 8 , 7 , 4 , 5 n = ∑ f i = 35 n=\sum f_i=35 n = ∑ f i = 35
Tính các tổng:
∑ f i x i = 30350 , ∑ f i x i 2 = 26567500 \sum f_i x_i = 30350,\qquad \sum f_i x_i^2=26567500 ∑ f i x i = 30350 , ∑ f i x i 2 = 26567500 Bước 1: Trung bình mẫu
x ˉ = ∑ f i x i n = 30350 35 = 867.1429 \bar x=\frac{\sum f_i x_i}{n}=\frac{30350}{35}=867.1429 x ˉ = n ∑ f i x i = 35 30350 = 867.1429 Bước 2: Phương sai mẫu (không chệch) và độ lệch chuẩn mẫu
s 2 = ∑ f i x i 2 − ( ∑ f i x i ) 2 n n − 1 s^2=\frac{\sum f_i x_i^2-\frac{(\sum f_i x_i)^2}{n}}{n-1} s 2 = n − 1 ∑ f i x i 2 − n ( ∑ f i x i ) 2 s 2 = 26567500 − 3035 0 2 35 34 ≈ 7344.538 ⇒ s ≈ 85.7003 s^2=\frac{26567500-\frac{30350^2}{35}}{34}\approx 7344.538
\Rightarrow s\approx 85.7003 s 2 = 34 26567500 − 35 3035 0 2 ≈ 7344.538 ⇒ s ≈ 85.7003 Vì tổng thể chuẩn, σ \sigma σ t :
x ˉ ± t α / 2 ; n − 1 s n \bar x \pm t_{\alpha/2;\,n-1}\frac{s}{\sqrt n} x ˉ ± t α /2 ; n − 1 n s 1) Sai số (nửa độ dài khoảng) với độ tin cậy 95%
E = t 0.025 ; 34 s 35 E=t_{0.025;34}\frac{s}{\sqrt{35}} E = t 0.025 ; 34 35 s Tra (hoặc dùng bảng): t 0.975 ; 34 ≈ 2.0322 t_{0.975;34}\approx 2.0322 t 0.975 ; 34 ≈ 2.0322
E = 2.0322 ⋅ 85.7003 35 ≈ 29.439 E=2.0322\cdot \frac{85.7003}{\sqrt{35}}\approx 29.439 E = 2.0322 ⋅ 35 85.7003 ≈ 29.439 Sai số ước lượng (95%) : E ≈ 29.44 (ngh ı ˋ n đ o ˆ ˋ ng) \boxed{E\approx 29.44\ \text{(nghìn đồng)}} E ≈ 29.44 (ngh ı ˋ n đ o ˆ ˋ ng)
(Nếu cần luôn khoảng tin cậy 95%:)
C I 95 % : 867.14 ± 29.44 ⇒ ( 837.70 , 896.58 ) ngh ı ˋ n CI_{95\%}:\ 867.14\pm 29.44 \Rightarrow (837.70,\ 896.58)\ \text{nghìn} C I 95% : 867.14 ± 29.44 ⇒ ( 837.70 , 896.58 ) ngh ı ˋ n 2) Nếu yêu cầu sai số không vượt quá 10 nghìn, độ tin cậy đạt được?
Ta cần E = 10 E=10 E = 10
10 = t α / 2 ; 34 s 35 ⇒ t α / 2 ; 34 = 10 35 85.7003 ≈ 0.6903 10=t_{\alpha/2;34}\frac{s}{\sqrt{35}}
\Rightarrow t_{\alpha/2;34}= \frac{10\sqrt{35}}{85.7003}\approx 0.6903 10 = t α /2 ; 34 35 s ⇒ t α /2 ; 34 = 85.7003 10 35 ≈ 0.6903 Độ tin cậy hai phía:
1 − α = 2 F t , 34 ( 0.6903 ) − 1 ≈ 0.5053 1-\alpha = 2F_{t,34}(0.6903)-1 \approx 0.5053 1 − α = 2 F t , 34 ( 0.6903 ) − 1 ≈ 0.5053 ⇒ 1 − α ≈ 50.53 % \Rightarrow \boxed{1-\alpha \approx 50.53\%} ⇒ 1 − α ≈ 50.53% Bài 18 n = 10000 n=10000 n = 10000 = 7234 =7234 = 7234
p ^ = 7234 10000 = 0.7234 , S E = p ^ ( 1 − p ^ ) n ≈ 0.004473 \hat p=\frac{7234}{10000}=0.7234,\qquad
SE=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\approx 0.004473 p ^ = 10000 7234 = 0.7234 , SE = n p ^ ( 1 − p ^ ) ≈ 0.004473 1) Với độ tin cậy 99%, tỉ lệ nảy mầm p p p lớn hơn bao nhiêu ?
Cận dưới 1 phía (99%): dùng z 0.99 ≈ 2.3263 z_{0.99}\approx 2.3263 z 0.99 ≈ 2.3263
p ≥ p ^ − z 0.99 S E = 0.7234 − 2.3263 ⋅ 0.004473 ≈ 0.71299 p \ge \hat p - z_{0.99}SE
=0.7234-2.3263\cdot 0.004473\approx 0.71299 p ≥ p ^ − z 0.99 SE = 0.7234 − 2.3263 ⋅ 0.004473 ≈ 0.71299 ⇒ p ≳ 0.7130 ( tức 71.30 % ) với độ tin cậy 99 % \Rightarrow \boxed{p \gtrsim 0.7130\ (\text{tức }71.30\%)\ \text{với độ tin cậy }99\%} ⇒ p ≳ 0.7130 ( tức 71.30% ) với đ ộ tin cậy 99% 2) Nói rằng “p < 80 % p<80\% p < 80%
Ta xét cận trên 1 phía: p ≤ 0.8 p \le 0.8 p ≤ 0.8
z = 0.8 − p ^ S E = 0.8 − 0.7234 0.004473 ≈ 17.124 z=\frac{0.8-\hat p}{SE}=\frac{0.8-0.7234}{0.004473}\approx 17.124 z = SE 0.8 − p ^ = 0.004473 0.8 − 0.7234 ≈ 17.124 Độ tin cậy ≈ Φ ( z ) ≈ Φ ( 17.124 ) ≈ 1 \approx \Phi(z)\approx \Phi(17.124)\approx 1 ≈ Φ ( z ) ≈ Φ ( 17.124 ) ≈ 1
Φ ( 17.124 ) ≈ 1 − 4.89 × 1 0 − 66 \Phi(17.124)\approx 1-4.89\times 10^{-66} Φ ( 17.124 ) ≈ 1 − 4.89 × 1 0 − 66 ⇒ độ tin cậy ≈ 100 % \Rightarrow \boxed{\text{độ tin cậy } \approx 100\%} ⇒ đ ộ tin cậy ≈ 100% Bài 19 Có n = 15 n=15 n = 15 ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y )
∑ X = 120 , ∑ Y = 252 , ∑ X 2 = 1240 , ∑ Y 2 = 5193.2 , ∑ X Y = 2533.5 \sum X=120,\ \sum Y=252,\ \sum X^2=1240,\ \sum Y^2=5193.2,\ \sum XY=2533.5 ∑ X = 120 , ∑ Y = 252 , ∑ X 2 = 1240 , ∑ Y 2 = 5193.2 , ∑ X Y = 2533.5 x ˉ = 120 15 = 8 , y ˉ = 252 15 = 16.8 \bar x=\frac{120}{15}=8,\qquad \bar y=\frac{252}{15}=16.8 x ˉ = 15 120 = 8 , y ˉ = 15 252 = 16.8 S x x = ∑ X 2 − n x ˉ 2 = 1240 − 15 ⋅ 8 2 = 280 S_{xx}=\sum X^2-n\bar x^2=1240-15\cdot 8^2=280 S xx = ∑ X 2 − n x ˉ 2 = 1240 − 15 ⋅ 8 2 = 280 S x y = ∑ X Y − n x ˉ y ˉ = 2533.5 − 15 ⋅ 8 ⋅ 16.8 = 517.5 S_{xy}=\sum XY-n\bar x\bar y=2533.5-15\cdot 8\cdot 16.8=517.5 S x y = ∑ X Y − n x ˉ y ˉ = 2533.5 − 15 ⋅ 8 ⋅ 16.8 = 517.5 Hệ số hồi quy:
b = S x y S x x = 517.5 280 = 1.848214 b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{517.5}{280}=1.848214 b = S xx S x y = 280 517.5 = 1.848214 a = y ˉ − b x ˉ = 16.8 − 1.848214 ⋅ 8 = 2.014286 a=\bar y-b\bar x=16.8-1.848214\cdot 8=2.014286 a = y ˉ − b x ˉ = 16.8 − 1.848214 ⋅ 8 = 2.014286 Đường hồi quy Y Y Y X X X
Y ^ = 2.0143 + 1.8482 X \boxed{\hat Y = 2.0143 + 1.8482X} Y ^ = 2.0143 + 1.8482 X Ước lượng điểm khi X = 12.5 X=12.5 X = 12.5
Y ^ ( 12.5 ) = 2.0143 + 1.8482 ⋅ 12.5 ≈ 25.117 \hat Y(12.5)=2.0143+1.8482\cdot 12.5\approx 25.117 Y ^ ( 12.5 ) = 2.0143 + 1.8482 ⋅ 12.5 ≈ 25.117 ⇒ Y ^ ≈ 25.12 \Rightarrow \boxed{\hat Y \approx 25.12} ⇒ Y ^ ≈ 25.12 (Nếu bạn cần luôn hệ số tương quan:)
S y y = ∑ Y 2 − n y ˉ 2 = 5193.2 − 15 ⋅ 16. 8 2 = 959.6 S_{yy}=\sum Y^2-n\bar y^2=5193.2-15\cdot 16.8^2=959.6 S yy = ∑ Y 2 − n y ˉ 2 = 5193.2 − 15 ⋅ 16. 8 2 = 959.6 r = S x y S x x S y y ≈ 0.99836 r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}\approx 0.99836 r = S xx S yy S x y ≈ 0.99836 Bài 20 Có 20 sinh viên, dữ liệu ( X = (X= ( X = Y = Y= Y =
1) Ước lượng μ Y \mu_Y μ Y
Tính từ dữ liệu:
n = 20 , y ˉ = 30.4 , s y ≈ 10.267 n=20,\quad \bar y=30.4,\quad s_y\approx 10.267 n = 20 , y ˉ = 30.4 , s y ≈ 10.267 t 0.975 ; 19 ≈ 2.093 t_{0.975;19}\approx 2.093 t 0.975 ; 19 ≈ 2.093 Sai số:
E = 2.093 ⋅ 10.267 20 ≈ 4.805 E=2.093\cdot \frac{10.267}{\sqrt{20}}\approx 4.805 E = 2.093 ⋅ 20 10.267 ≈ 4.805 Khoảng tin cậy 95%:
μ Y ∈ ( 30.4 − 4.805 , 30.4 + 4.805 ) = ( 25.595 , 35.205 ) \boxed{\mu_Y\in (30.4-4.805,\ 30.4+4.805)=(25.595,\ 35.205)} μ Y ∈ ( 30.4 − 4.805 , 30.4 + 4.805 ) = ( 25.595 , 35.205 ) 2) Ước lượng μ X \mu_X μ X Y > 30 Y>30 Y > 30
Những bạn có Y > 30 Y>30 Y > 30 X X X 5 , 9 , 3 , 7 , 6 , 4 , 8 , 10 , 2 , 1 5,9,3,7,6,4,8,10,2,1 5 , 9 , 3 , 7 , 6 , 4 , 8 , 10 , 2 , 1 n = 10 n=10 n = 10
x ˉ = 5.5 , s x ≈ 3.028 , t 0.975 ; 9 ≈ 2.262 \bar x=5.5,\quad s_x\approx 3.028,\quad t_{0.975;9}\approx 2.262 x ˉ = 5.5 , s x ≈ 3.028 , t 0.975 ; 9 ≈ 2.262 E = 2.262 ⋅ 3.028 10 ≈ 2.166 E=2.262\cdot \frac{3.028}{\sqrt{10}}\approx 2.166 E = 2.262 ⋅ 10 3.028 ≈ 2.166 μ X ∈ ( 5.5 − 2.166 , 5.5 + 2.166 ) = ( 3.334 , 7.666 ) \boxed{\mu_X\in (5.5-2.166,\ 5.5+2.166)=(3.334,\ 7.666)} μ X ∈ ( 5.5 − 2.166 , 5.5 + 2.166 ) = ( 3.334 , 7.666 ) Phần còn thiếu (Bài 21 → Bài 26)
Trong ảnh bạn gửi hiện chỉ thấy đến Bài 20 . Bạn gửi thêm ảnh/trang có Bài 21–26 , mình sẽ giải tiếp chi tiết đúng yêu cầu .
