logoChat01.ai

Биологический кружок посещают несколько учеников. ...

Created on: December 14, 2025

Answered using GPT-5.2 Thinking by Chat01

Question

Биологический кружок посещают несколько учеников. Они определяют численность птиц, обитающих в окрестностях школы. Во дворе школы живет стая воробьев (не более 1000 особей). Ежедневно каждый из учеников кружка подсчитывает количество воробьев (любой ученик при любом подсчете учитывает любого воробья не более одного раза). Для полученных учениками значений вычисляется медиана. За неделю наблюдений медианы оказались следующими: 485, 973, 856, 293, 590.

Пусть V — точное число воробьев, живущих в школьном дворе (предполагаем, что оно не меняется в период измерений), a < = V <= b. Укажите в ответе наименьшее такое b, если известно, что

а) в один из дней кто-то из учеников подсчитал всех живущих во дворе воробьев;

б) в любой из дней подсчитанные учениками значения отличались между собой не менее, чем на 5, но не более, чем на 28.

Если ответ при данных условиях задачи не может быть найден, то в поле ответа укажите число -1.

Напоминаем: Если в упорядоченном ряду данных нечётное число вариант, то средняя по счёту варианта называется медианой. Если в упорядоченном ряду чётное число вариант, то медианой называется среднее арифметическое двух средних по счёту вариант.

Python

python
import itertools, math

def max_possible_max(m, n):
    # search within reasonable range around m +/- 50
    # constraints: x1<x2<...<xn integers, gaps>=5, span<=28, and median = m (odd) or (xk+xk1)/2=m even
    best=None
    best_tuple=None
    # determine plausible min range: m-50 to m
    lo=m-60
    hi=m+60
    for xs in itertools.combinations(range(lo, hi+1), n):
        ok=True
        for i in range(n-1):
            if xs[i+1]-xs[i] < 5: ok=False; break
        if not ok: continue
        if xs[-1]-xs[0] > 28: continue
        if n%2==1:
            if xs[n//2]!=m: continue
        else:
            k=n//2-1  # zero-based index of x_k
            if (xs[k]+xs[k+1])!=2*m: continue

Python

python
from functools import lru_cache

def max_max_given_median(m,n):
    best=-10**9
    best_tuple=None
    # We'll backtrack with constraints gap>=5 and span<=28, and impose median condition as early as possible.
    if n%2==1:
        med_index=n//2  # 0-based
        # choose x_med = m fixed
        # Need build left values < m and right values > m with gaps>=5 and span<=28.
        # Let x0 = min, xn-1=max.
        # Because span<=28, all values in [m-28, m+28].
        lo=m-28
        hi=m+28
        # generate left side: length med_index values, must end at <=m-5
        # right side: length n-med_index-1 values, start at >=m+5
        left_len=med_index
        right_len=n-med_index-1
        
        # Backtrack left from m downward
        def gen_left():
            #

Python

python
def max_max_given_median(m,n):
    best=-10**9
    best_tuple=None
    lo=m-28; hi=m+28
    if n%2==1:
        med_index=n//2
        left_len=med_index
        right_len=n-med_index-1
        import itertools
        left_candidates=range(lo, m-4)  # up to m-5
        right_candidates=range(m+5, hi+1)
        def combos_gap(cands, length):
            if length==0:
                yield []
                return
            for comb in itertools.combinations(cands, length):
                ok=True
                for i in range(length-1):
                    if comb[i+1]-comb[i] <5: ok=False; break
                if ok:
                    yield list(comb)
        for left in combos_gap(left_candidates,left_len):
            # need ensure gap between left[-

Thought

Finalizing the solution with constraints

I’ve confirmed the max possible value for V with a median of 973 and n up to 6 is 996. Since n is limited to 6 due to constraints on gaps and span, the maximum V is 996 with n=3. Now, I need to ensure the counts don’t violate the limit of V ≤ 1000 and the counts ≤ V. Time to translate this into Russian concisely.

Final conditions and proof for max V

Let’s consider the ordered counts of birds for the day, where the maximum count is V. Since all the differences are at least 5, the median is bounded by the second-largest value. We can use this to show that the full day's count can achieve a maximum of 996, confirmed with examples like those used for 3 students. Therefore, the minimum V achievable is 996.

Thought for 13m 34s

Answer

Обозначим через VV истинное число воробьёв. В каждый день получаются числа (подсчёты учеников), все они не превосходят VV.

Из того, что одна из медиан равна 973973, сразу следует:

V≥973.V\ge 973.

Теперь используем условие (б): в любой день все подсчёты попарно отличаются не меньше чем на 5 и не больше чем на 28. Значит, в любой день числа можно упорядочить

x1<x2<⋯<xn,xn−x1≤28,xi+1−xi≥5.x_1<x_2<\dots<x_n,\qquad x_n-x_1\le 28,\qquad x_{i+1}-x_i\ge 5.

По условию (а) в какой-то день кто-то посчитал всех, то есть в этот день максимум равен VV:

xn=V.x_n=V.

В этот день медиана не может быть самым маленьким числом, значит есть хотя бы одно число строго меньше медианы, а из “не менее 5” получаем:

x1≤(медиана)−5.x_1 \le \text{(медиана)} - 5.

Тогда

V=xn≤x1+28≤(медиана−5)+28=медиана+23.V=x_n \le x_1+28 \le (\text{медиана}-5)+28=\text{медиана}+23.

Следовательно, в день, когда посчитали всех, его медиана mm обязана удовлетворять

V≤m+23.V\le m+23.

Но V≥973V\ge 973. Если бы “полный” день имел медиану 485485, 856856, 293293 или 590590, то получили бы соответственно V≤508V\le 508, V≤879V\le 879, V≤316V\le 316, V≤613V\le 613 — противоречие с V≥973V\ge 973. Значит, день с полным подсчётом — это день с медианой 973973.

Тогда

V≤973+23=996.V\le 973+23=996.

Достижимость: можно взять V=996V=996 и, например, 3 учеников. В день с медианой 973973: 968, 973, 996968,\ 973,\ 996 (разности 5, 23, 28). В остальные дни, например:

  • 480,485,490480,485,490
  • 851,856,861851,856,861
  • 288,293,298288,293,298
  • 585,590,595585,590,595

Все разности в пределах [5,28][5,28], медианы нужные, и в один из дней действительно есть подсчёт =V=V.

Ответ: b=996b=996.

Share this Q&A