Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник...

Question

Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, координаты вершин которого удовлетворяют уравнению
|y−1|=−(|x+1|−2)^3
, а стороны параллельны осям координат?

Thought

Solving optimization for rectangle area

I'm optimizing the area of a rectangle with vertices on the curve defined by |y-1| = -(|x+1|-2)^3. For the valid range of x, this simplifies to |y-1| = (2 - |x+1|)^3, with x between -3 and 1. The curve results in two branches around y=1 with symmetry around x=-1.

Maximizing area for axis-aligned rectangle

To maximize the rectangle's area, I assume it's centered at (-1,1), based on the symmetry of the curve. The vertices are placed at x=-1±a and y=1±b, where I set b = (2-a)^3. This ensures all four corners lie on the curve, confirming that the rectangle's area is maximized with this arrangement.

Maximizing area of rectangle and verifying symmetry

The rectangle's area is A(a) = 4a(2-a)^3, and we need to maximize this function for a in [0,2]. I also considered whether rectangles might not be centered, but for the vertices to lie on the curve, both x-values and corresponding y-values must still follow the symmetry of the curve. This means we must have equal y-values at the left and right sides of the rectangle.

Verifying symmetry for the rectangle’s positions

The function f depends on |x+1| and is decreasing from 8 to 0. This means x-values must be symmetric around -1 for f to be equal. That gives x_right = -2 - x_left. Since the rectangle must have two y-levels, they must use both the upper and lower branches of the curve to straddle y=1.

Thought for 51s

Answer

Перепишем уравнение. Так как $|y-1|\ge 0$ , то правая часть должна быть неотрицательной:

|y-1|=-\bigl(|x+1|-2\bigr)^3=\bigl(2-|x+1|\bigr)^3,\qquad |x+1|\le 2.

Значит кривая задаётся двумя ветвями

y=1\pm \bigl(2-|x+1|\bigr)^3.

Пусть прямоугольник со сторонами, параллельными осям, имеет вертикальные стороны $x=x_1$ и $x=x_2$ , а горизонтальные $y=y_1$ и $y=y_2$ . Для того чтобы все 4 вершины лежали на кривой, при каждом из $x_1,x_2$ должны подходить оба уровня $y_1,y_2$ , то есть значения $\bigl(2-|x+1|\bigr)^3$ в точках $x_1$ и $x_2$ должны совпадать. Отсюда $|x_1+1|=|x_2+1|=:a$ , то есть

x_1=-1-a,\quad x_2=-1+a,\quad 0\le a\le 2,

а уровни по $y$ будут

y_{1,2}=1\mp (2-a)^3.

Тогда ширина $=2a$ , высота $=2(2-a)^3$ , площадь

S(a)=4a(2-a)^3,\qquad 0\le a\le 2.

Максимум:

S'(a)=4(2-a)^2(2-4a)=0 \;\Rightarrow\; a=\tfrac12 \quad(\text{внутренняя точка}).

S_{\max}=4\cdot \frac12\left(2-\frac12\right)^3 =2\left(\frac32\right)^3 =2\cdot \frac{27}{8} =\frac{27}{4}.

Ответ: наибольшая площадь равна $\boxed{\frac{27}{4}}$ .
(Соответствующие вершины: $x=-\tfrac32,-\tfrac12$ , $y=1\pm \tfrac{27}{8}$ , то есть $y=\tfrac{35}{8}$ и $y=-\tfrac{19}{8}$ .)