Биологический кружок посещают несколько учеников. ...

Created on: December 14, 2025

Answered using GPT-5.2 Thinking by Chat01

Question

Биологический кружок посещают несколько учеников. Они определяют численность птиц, обитающих в окрестностях школы. Во дворе школы живет стая воробьев (не более 1000 особей). Ежедневно каждый из учеников кружка подсчитывает количество воробьев (любой ученик при любом подсчете учитывает любого воробья не более одного раза). Для полученных учениками значений вычисляется медиана. За неделю наблюдений медианы оказались следующими: 670, 650, 671, 684, 686.

Пусть V — точное число воробьев, живущих в школьном дворе (предполагаем, что оно не меняется в период измерений), a < = V <= b. Укажите в ответе наименьшее такое b. Известно, что:

а) в один из дней кто-то из учеников подсчитал всех живущих во дворе воробьев;

б) в любой из дней подсчитанные учениками значения отличались между собой не менее, чем на 6, но не более, чем на 25;

в) в кружке чётное количество учеников.

Если ответ при данных условиях задачи не может быть найден, то в поле ответа укажите число -1.

Напоминаем: Если в упорядоченном ряду данных нечётное число вариант, то средняя по счёту варианта называется медианой. Если в упорядоченном ряду чётное число вариант, то медианой называется среднее арифметическое двух средних по счёту вариант.

Thought

Clarifying the problem with the interval bounds

Okay, so "отличались между собой не менее, чем на 6, но не более, чем на 25" means the differences between the results are between 6 and 25, with all counts distinct. For the even number of students, I'm trying to determine the smallest possible upper bound (b) for a value V based on the constraints. If it's impossible, I should return -1.

Finding the minimal upper bound based on constraints

The goal is to find the maximum possible value (V) consistent with the data and conditions, and then use that to determine the smallest possible upper bound (b). Given that the number of students (n) must be 2 or 4, I’ll now break down and analyze the conditions for each day.

Analyzing median and conditions for n=2 and n=4

For n=2, median is the average of two counts, with their difference between 6 and 25. So, counts must be symmetric around the median, and the difference must be an even value between 6 and 25. For n=4, I’ve confirmed that the conditions can also hold while respecting the limiting range. Now, I’m determining the true count V for each day's values.

Analyzing possible values for V and n

V corresponds to a count on a given day, and while daily counts might vary, the constraints still apply. With 5 medians provided, I’m assuming that n (the number of students) remains constant, likely 2 or 4. I need to weigh the possibilities based on the given medians and conditions. For n=2, counts are symmetric around the median, so the maximum count on any day must be ≤ V, and V must also be ≥ the maximum count across all days. However, V could still be larger than these counts due to missed observations.

Determining possible values for V based on counts and medians

Given the conditions, V must equal one of the counts, and for n=2, V is likely the largest count on a day when all were counted. The possible values for V range from m+3 to m+12, with V needing to be ≥ the maximum median + 3. Therefore, V must be between 689 and 698.

Checking consistency across days for V = 698

For V to be valid, it must be large enough to fit within the constraints, with the counts differing at least 6 and at most 25. Days with medians like 686 and 684 do work, but the largest feasible V seems to be 698. Given that conditions don't restrict counts between different days, it looks like V=698 holds.

Validating potential V and whether n=4 could allow larger V

I’ve checked that for each day, the difference between counts is between 6 and 25, and they don't exceed V. For V = 698, medians like 686 work with counts 674 and 698, all meeting the conditions. But should n=4 allow a larger V? Let’s explore—n=4 might increase the range, but I'll need to verify.

Maximizing V for n=4 conditions

Got it — x2 and x3 are symmetric around the median, so x2 = m - d and x3 = m + d where d >= 3. I now need to check that the other counts satisfy the conditions: x1 < x2, x4 > x3, and differences are within the constraints. I’m aiming to maximize x4, given these pairwise constraints.

Maximizing highest count V for n=4

To maximize x4, I set d=3 and p=6, resulting in x4 = m + 16. This arrangement holds well within the constraints, giving a maximum possible count of 702 when the median is 686. The goal now is to ensure that V can operate within these boundaries for all days, while respecting the upper limit.

Verifying feasibility of V=702 for all medians

If a student counts all, their count equals V (which is the max). To maximize V, I’ll use the day with the largest median, 686, resulting in a max count of 702. I've verified it works under constraints for the day with median 686, but now I need to check if it holds for other medians while ensuring all counts stay within the range.

Maximizing V and verifying constraints

It seems V=702 is feasible, with n=4 and a median of 686. For n=2, V cannot exceed 698. The approach works by ensuring all counts are within the range, meeting the constraints. I verified the counts for multiple medians, and the differences between the counts ensure the range and separation rules are followed. Thus, V=702 is the maximal value under n=4.

Thought for 3m 49s

Answer

Из условия (б): в один и тот же день любые два результата отличаются не меньше чем на 6 и не больше чем на 25.
Если в кружке $n$ учеников, то в упорядоченном ряду разность между минимальным и максимальным значениями не меньше $6(n-1)$ , но по условию она $\le 25$ . Значит

6(n-1)\le 25 \;\Rightarrow\; n\le 5.

А $n$ чётное, значит $n=2$ или $n=4$ .

Ключевое: по (а) в один из дней кто-то посчитал всех воробьёв, то есть $V$ равно максимальному значению в тот день.

Максимально возможный максимум при заданной медиане

1) Если $n=2$ : два числа симметричны относительно медианы $m$ : $m-k$ и $m+k$ , где $2k\in[6,24]$ , значит $k\in[3,12]$ .
Тогда максимум $\le m+12$ .

2) Если $n=4$ : пусть $x_1<x_2<x_3<x_4$ , медиана

m=\frac{x_2+x_3}{2}.

Тогда $x_2=m-d,\; x_3=m+d$ , где $x_3-x_2=2d\ge 6\Rightarrow d\ge 3$ .
Пусть $p=x_2-x_1\ge 6$ , $q=x_4-x_3\ge 6$ . Из ограничения «не больше 25» для крайних:

x_4-x_1=(m+d+q)-(m-d-p)=2d+p+q\le 25.

Чтобы сделать $x_4$ как можно больше, берём минимально $p=6$ и минимально $d=3$ , тогда

q\le 25-2\cdot 3-6=13,

и максимум

x_4=m+d+q \le m+3+13=m+16.

Это достигается, например, набором $\{m-9,\; m-3,\; m+3,\; m+16\}$ (все разности между любыми двумя лежат в $[6,25]$ ).

Верхняя граница для $V$

Самая большая медиана среди данных — $686$ . Значит в день, когда посчитали всех, максимум (а значит и $V$ ) не может превышать

686+16=702.

То есть $V\le 702$ , значит $b\le 702$ .

Достижимость $V=702$

Покажем пример при $n=4$ , где все условия выполняются, а в день с медианой 686 максимум равен 702:

медиана 650: $641, 647, 653, 666$
медиана 670: $661, 667, 673, 686$
медиана 671: $662, 668, 674, 687$
медиана 684: $675, 681, 687, 700$
медиана 686: $677, 683, 689, 702$ ← здесь кто-то посчитал всех, значит $V=702$

В каждом дне любые два значения отличаются от 6 до 25, учеников чётное число, и $V$ действительно возможно.

Следовательно, максимальное возможное $V$ равно 702, и наименьшее гарантированное $b$ тоже:

Ответ: 702.