Неравенство вы записали и преобразовали в целом правильно (общий знаменатель, один дробный выражение, критические точки по нулям числителя/знаменателя). Дальше оно сильно упрощается из-за удачных квадратов.

1) Уточним исходное неравенство

По вашему обозначению это:

$$\frac{(3x-4)^2}{x-3}\ \ge\ \frac{16-24x+9x^2}{15-8x+x^2}.$$

Где

$$A=(3x-4)^2,\quad B=16-24x+9x^2,\quad C=15-8x+x^2.$$

2) Проверка преобразования к одной дроби

Вы сделали:

$$\frac{A}{x-3}-\frac{B}{C}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{AC-B(x-3)}{(x-3)C}\ge 0,$$

— это верно.

3) Ключевое упрощение

Заметим, что

$$B=16-24x+9x^2=(3x-4)^2=A,$$

а также

$$C=x^2-8x+15=(x-3)(x-5).$$

Тогда числитель:

$$AC-B(x-3)=A\big(C-(x-3)\big).$$

Считаем скобку:

$$C-(x-3)=(x^2-8x+15)-(x-3)=x^2-9x+18=(x-3)(x-6).$$

Значит,

$$AC-B(x-3)=A(x-3)(x-6).$$

Знаменатель:

$$(x-3)C=(x-3)(x-3)(x-5)=(x-3)^2(x-5).$$

И вся дробь (с учётом области допустимых значений $x\ne 3,5$):

$$\frac{AC-B(x-3)}{(x-3)C} = \frac{A(x-3)(x-6)}{(x-3)^2(x-5)} = \frac{(3x-4)^2(x-6)}{(x-3)(x-5)}\ge 0,\quad x\ne 3,5.$$

4) Критические точки и знаки

Критические точки:

• нули числителя: $(3x-4)^2=0 \Rightarrow x=\frac43$; и $x-6=0\Rightarrow x=6$;
• нули знаменателя (запрещённые): $x=3,\;x=5$.

Так как $(3x-4)^2\ge 0$ и знак не меняет (кроме нуля при $x=\frac43$), знак выражения определяется

$$\frac{x-6}{(x-3)(x-5)}.$$

Проверяем интервалы по точкам $3,5,6$:

• $(-\infty,3)$: знак минус (но $x=\frac43$ даёт ровно 0, значит подходит);
• $(3,5)$: знак плюс (подходит весь интервал);
• $(5,6)$: знак минус (не подходит);
• $(6,\infty)$: знак плюс (подходит), причём $x=6$ даёт 0, значит включаем 6.

Ответ

$$\boxed{\,x\in(3,5)\ \cup\ [6,+\infty)\ \cup\left\{\frac43\right\}\,}$$

при условии $x\ne 3,\;x\ne 5$ (что и так выполнено в ответе).

Решаем

$$\frac{(3x-4)^2}{x-3}\ \ge\ \frac{16-24x+9x^2}{15-8x+x^2}.$$

1) Упростим правую дробь и область допустимых значений

$$16-24x+9x^2=(3x-4)^2, \qquad 15-8x+x^2=x^2-8x+15=(x-3)(x-5).$$

ОДЗ: знаменатели $\neq 0$ ⇒ $x\neq 3,\ x\neq 5$.

Тогда неравенство:

$$\frac{A}{x-3}\ge \frac{A}{(x-3)(x-5)},\quad \text{где } A=(3x-4)^2.$$

2) Перенесём влево и приведём

$$\frac{A}{x-3}-\frac{A}{(x-3)(x-5)}\ge 0$$ $$A\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{(x-3)(x-5)}\right)\ge 0$$ $$A\cdot \frac{(x-5)-1}{(x-3)(x-5)}\ge 0$$ $$\frac{(3x-4)^2(x-6)}{(x-3)(x-5)}\ge 0,\qquad x\neq 3,5.$$

3) Знаки

$(3x-4)^2\ge 0$ всегда и обращается в ноль при $x=\frac43$.

Критические точки: $\frac43,\ 3,\ 5,\ 6$.

Знак выражения (кроме точки $\frac43$, где оно равно 0) определяется

$$\frac{x-6}{(x-3)(x-5)}.$$

Проверка интервалов:

• $(-\infty,3)$: знак “−”, но $x=\frac43$ даёт $0$ ⇒ включаем только $\frac43$.
• $(3,5)$: знак “+” ⇒ включаем весь интервал.
• $(5,6)$: знак “−” ⇒ не включаем.
• $[6,\infty)$: знак “+”, при $x=6$ значение $0$ ⇒ включаем $6$.

Ответ

$$\boxed{\,x\in(3,5)\ \cup\ [6,+\infty)\ \cup\left\{\frac43\right\}\,}$$

(и автоматически $x\neq 3,5$).