Реши задачу

Решение.

Выберем земную систему отсчёта, вращающуюся вместе с Землёй с угловой скоростью $\boldsymbol{\Omega}$ (на экваторе $|\boldsymbol{\Omega}|=\Omega_3$, направление — горизонтально на север). В инерциальной системе на гироскоп внешние моменты не действуют, значит

$$\left.\frac{d\mathbf L}{dt}\right|_{\text{ин}}=0 .$$

Переходя в земную (неинерциальную) систему,

$$\left.\frac{d\mathbf L}{dt}\right|_{\text{зем}}=-\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf L . \tag{1}$$

Гироскоп осесимметричен. При $\omega\gg\Omega_3$ момент количества движения почти совпадает с осью симметрии $\mathbf e$:

$$\mathbf L \approx I_s \omega\, \mathbf e + I_n(\mathbf e\times \dot{\mathbf e}), \tag{2}$$

где вторая добавка — из-за малой угловой скорости поворота оси $\mathbf e$ относительно Земли (она перпендикулярна $\mathbf e$).

Продифференцируем (2) по времени в земной системе, оставляя только линейные по малым величинам члены:

$$\dot{\mathbf L}\approx I_s\omega\,\dot{\mathbf e}+I_n(\mathbf e\times \ddot{\mathbf e}). \tag{3}$$

Подставим (2),(3) в (1):

$$I_s\omega\,\dot{\mathbf e}+I_n(\mathbf e\times \ddot{\mathbf e}) = -\boldsymbol{\Omega}\times\big(I_s\omega\,\mathbf e+I_n(\mathbf e\times\dot{\mathbf e})\big). \tag{4}$$

Рассматриваем малые колебания оси в горизонтальной плоскости около направления $\boldsymbol{\Omega}$ (на север). Пусть $\theta$ — малый азимутальный угол отклонения оси от севера. Тогда

$$\mathbf e = \boldsymbol{\Omega}/\Omega_3 + \delta,\qquad \delta \perp \boldsymbol{\Omega},\qquad |\delta|=\theta,$$

и $\dot{\mathbf e}\approx \dot\delta$, $\ddot{\mathbf e}\approx \ddot\delta$.

Линеаризация (4) даёт (существенный шаг — использование тождества тройного векторного произведения):

$$I_n\,\ddot{\theta}+I_s\omega\Omega_3\,\theta=0.$$

Значит, это гармонические колебания с циклической частотой

$$\nu=\sqrt{\frac{I_s\omega\Omega_3}{I_n}},$$

и периодом

$$T=\frac{2\pi}{\nu}=2\pi\sqrt{\frac{I_n}{I_s\omega\Omega_3}}.$$

Отсюда

$$\omega=\frac{I_n}{I_s\,\Omega_3}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2. \tag{5}$$

Подстановка чисел:

$$\frac{I_n}{I_s}=0.5,\quad T=5\ \text{с},\quad \Omega_3=7.29\times 10^{-5}\ \text{рад/с}.$$

Сначала вычислим $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$:

$$\frac{2\pi}{5}\approx 1.2566\ \text{рад/с},\qquad \left(\frac{2\pi}{5}\right)^2\approx 1.579.$$

Теперь по (5):

$$\omega \approx \frac{0.5}{7.29\times 10^{-5}}\cdot 1.579 \approx 1.08\times 10^4\ \text{рад/с}.$$

Ответ:

$$\boxed{\omega \approx 1.1\times 10^{4}\ \text{рад/с}}$$

что соответствует примерно

$$n=\frac{\omega}{2\pi}\,60 \approx 1.0\times 10^5\ \text{об/мин}.$$