Сразу оговорюсь: буду считать, что в условии имелось в виду уравнение

$$(a-1)\cdot 9^x - 2a\cdot 3^x + a+3 = 0$$

(то есть $9^x$ и $3^x$, а не $9x$ и $3x$).

---

1. Замена переменной

Положим

$$t = 3^x,\quad t>0.$$

На отрезке $x\in[0;1]$ имеем $t \in [1;3]$, потому что

$$3^0 = 1,\quad 3^1 = 3.$$

Так как $9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2 = t^2$, уравнение становится

$$(a-1)t^2 -2a t + a+3 =0,\quad t\in[1;3].$$

Число решений по $x$ на $[0;1]$ равно числу решений по $t$ на $[1;3]$, потому что $3^x$ строго монотонно.

Обозначим

$$f(t) = (a-1)t^2 -2a t + a+3.$$

---

2. Специальный случай $a=1$

Если $a=1$, то

$$f(t) = 0\cdot t^2 -2\cdot 1\cdot t + 1+3 = -2t+4 =0 \Rightarrow t=2.$$

$t=2\in[1;3]$, корень единственный ⇒ для $a=1$ условие выполняется.

---

3. Общий случай $a\neq 1$: квадратное уравнение

Для $a\neq 1$ имеем квадратное уравнение по $t$.
Его дискриминант:

$$\Delta = (-2a)^2 -4(a-1)(a+3) = 4a^2 -4(a^2+2a-3) = 4(-2a+3)=12-8a.$$

• Если $a> \frac{3}{2}$, то $\Delta<0$ ⇒ корней нет ⇒ решений на $[1;3]$ нет.
• Если $a\le \frac{3}{2}$, то $\Delta\ge 0$ ⇒ есть хотя бы один действительный корень.

Посчитаем значения на концах отрезка:

$$f(1) = (a-1)\cdot 1^2 -2a\cdot 1 + a+3 = 2 \quad(\text{всегда } >0),$$ $$f(3) = (a-1)\cdot 9 -2a\cdot 3 + a+3 = 4a -6.$$

a) $a<\frac{3}{2}$

Тогда $\Delta>0$ (два действительных корня) и

$$f(1)=2>0,\quad f(3)=4a-6<0.$$

Знак на концах отрезка разный: $f(1)\cdot f(3)<0$, значит на $(1,3)$ ровно один корень (для квадратичной функции это гарантирует единственный корень внутри отрезка).
Корней в точках 1 и 3 нет (там $f(1)\neq 0, f(3)\neq 0$), поэтому на всём $[1;3]$ тоже ровно один корень.

Следовательно, для всех $a<\frac{3}{2}$ уравнение имеет ровно одно решение на $[0;1]$.

b) $a = \frac{3}{2}$

$$\Delta = 12-8\cdot \frac{3}{2}=0,$$

квадратное уравнение имеет один (двойной) корень. Найдём его:

$$t_0 = \frac{2a}{2(a-1)} = \frac{a}{a-1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3.$$

$t_0=3\in[1;3]$, это один корень (считаем его как единственное значение $t$), ⇒ на $[0;1]$ тоже одно решение по $x$.

c) $a > \frac{3}{2}$

Корней нет ⇒ решений на $[0;1]$ нет.

Итак, множество всех подходящих параметров:

$$a \le \frac{3}{2}.$$

---

4. То, что нужно в ответе

Множество всех таких $a$:

$$(-\infty,\; 3/2].$$

• Наибольшее число из множества:

  $$a_{\max} = \frac{3}{2}.$$

• Целые числа, входящие в множество: все целые $\le 1$.
  Пять наибольших целых из этого множества:

  $$1,\ 0,\ -1,\ -2,\ -3.$$

Их сумма:

$$1+0-1-2-3 = -5.$$

Теперь прибавляем самое большое число из множества:

$$-5 + \frac{3}{2} = -\frac{10}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{7}{2}.$$

---

Ответ: $\boxed{-\dfrac{7}{2}}$.