На острове живут четверо аборигенов. Им известны э...

Ищем число $K$ и лжеца.

Нам даны утверждения:

1. $K \equiv 4 \pmod{7}$
2. $K \equiv 5 \pmod{8}$
3. $K \equiv 0 \pmod{9}$
4. $K \equiv 1 \pmod{11}$

И сказано, что любые две верные пары $(r_i, n_i)$ однозначно задают ключ $K$.

1. Оценим диапазон для ключа

Чтобы любые две пары давали однозначный ключ, ключ должен быть меньше произведения любых двух модулей.
Минимальное произведение среди всех пар модулей:

$$7\cdot 8 = 56$$

Значит, ключ должен удовлетворять

$$K < 56.$$

2. Проверим варианты, кто лжец

Мы не знаем, кто лжёт, поэтому перебираем варианты, предполагая, что трое говорят правду.

---

Вариант A: лжёт первый (используем 2, 3 и 4)

Система:

$$\begin{cases} K \equiv 5 \pmod{8},\\ K \equiv 0 \pmod{9},\\ K \equiv 1 \pmod{11}. \end{cases}$$

Из $K \equiv 0 \pmod{9}$:

$$K = 9t.$$

Подставим в $K \equiv 5 \pmod{8}$:

$$9t \equiv 5 \pmod{8} \Rightarrow t \equiv 5 \pmod{8} \quad(потому что 9 \equiv 1 \pmod{8}).$$

Значит,

$$t = 5 + 8s,\quad K = 9(5+8s) = 45 + 72s.$$

Но мы знаем, что $K < 56$, значит $s = 0$, и

$$K = 45.$$

Проверим третье условие:

$$45 \mod 11 = 1,$$

подходит.
То есть при предположении, что первый — лжец, мы получили допустимый ключ $K=45$.

Проверим, что именно не выполняется:

• $45 \mod 7 = 3 \neq 4$ — первая пара действительно ложная.
• Остальные:
  • $45 \mod 8 = 5$ ✔
  • $45 \mod 9 = 0$ ✔
  • $45 \mod 11 = 1$ ✔

Все сходится.

---

Варианты B, C, D (лжёт второй, третий или четвертый)

Кратко:

• Если считать, что лжёт второй и решать систему с модулями 7, 9, 11 при $K<56$, решения нет.
• Если лжёт третий (модули 7, 8, 11) — снова нет числа $K<56$, удовлетворяющего всем трём.
• Если лжёт четвёртый (модули 7, 8, 9) — также нет решения при $K<56$.

Значит, единственно возможный вариант – когда лжет первый.

---

Ответ

• Ключ:

$$\boxed{K = 45}$$

• Лжец:

$$\boxed{\text{первый абориген}}$$

Давай аккуратно разберёмся, потому что при данных из условия $K=10$ просто не может быть правильным.

---

1. Проверим $K = 10$ на всех четырёх утверждениях

Посчитаем остатки:

• $10 \bmod 7 = 3$, а первый говорит $4$ → не совпало
• $10 \bmod 8 = 2$, а второй говорит $5$ → не совпало
• $10 \bmod 9 = 1$, а третий говорит $0$ → не совпало
• $10 \bmod 11 = 10$, а четвертый говорит $1$ → не совпало

То есть при $K=10$ ни одно равенство вида
$r_i = K \bmod n_i$ не выполняется.

Но по условию «один из аборигенов всегда лжёт» — это значит, что ровно один говорит неправду, а остальные (в рамках задачи) говорят правду.
При $K=10$ все четверо ошибаются ⇒ это противоречит условию.

Значит, при тех числах $(r_i,n_i)$, которые ты привёл, $K=10$ быть не может.

---

2. Найдём правильный $K$ и лжеца

Перепишем систему:

1. $K \equiv 4 \pmod{7}$
2. $K \equiv 5 \pmod{8}$
3. $K \equiv 0 \pmod{9}$
4. $K \equiv 1 \pmod{11}$

И известно:

• один абориген всегда лжёт ⇒ одна из этих четырёх конгруэнций неверна,
• и знание любых двух верных пар позволяет однозначно восстановить $K$.
  Это означает, что если взять любые два правдивых модуля $n_i, n_j$, то ключ $K$ должен быть строго меньше их произведения $n_i n_j$ (чтобы решение по двум остаткам было единственным).

Дальше разбираем по случаям — кто может быть лжецом.

---

Случай 1: лжёт первый

Тогда верны:

$$\begin{cases} K \equiv 5 \pmod{8},\\ K \equiv 0 \pmod{9},\\ K \equiv 1 \pmod{11}. \end{cases}$$

Из $K \equiv 0 \pmod{9}$:

$$K = 9t.$$

Подставим в $K \equiv 5 \pmod{8}$:

$$9t \equiv 5 \pmod{8} \Rightarrow t \equiv 5 \pmod{8}$$

(потому что $9 \equiv 1 \pmod{8}$).

Значит,

$$t = 5 + 8s,\quad K = 9(5+8s) = 45 + 72s.$$

Теперь используем требование «любых двух пар достаточно».
Если истинны модули 8, 9 и 11, то минимальное произведение среди них:

• $8\cdot 9 = 72$
• $8\cdot 11 = 88$
• $9\cdot 11 = 99$

Минимум = 72 ⇒ ключ должен удовлетворять $K < 72$.

Из $K = 45 + 72s$ и $K < 72$ получаем только $s=0$, то есть:

$$K = 45.$$

Проверяем все четыре утверждения при $K=45$:

• $45 \bmod 7 = 3 \neq 4$ → первый лжёт ✔
• $45 \bmod 8 = 5$ → второй говорит правду ✔
• $45 \bmod 9 = 0$ → третий правду ✔
• $45 \bmod 11 = 1$ → четвертый правду ✔

И условие про «любые две верные пары» тоже выполняется (ключ меньше всех произведений пар модулей 8,9,11).

Этот вариант полностью согласован.

---

Остальные случаи (лжёт 2-й, 3-й или 4-й)

Если проделать аналогичные вычисления:

• при предположении, что лжёт второй, получается $K = 144 + 693k$, а чтобы любые две верные пары 7, 9, 11 однозначно задавали ключ, нужно $K < 63$. Ни одно такое $K$ не подходит ⇒ второй не может быть единственным лжецом.
• при предположении, что лжёт третий, получаем семейство решений, все из которых ≥221, а при модулях 7,8,11 надо иметь $K < 56$. Противоречие.
• при предположении, что лжёт четвёртый, аналогично минимальный возможный $K$ гораздо больше 56 при модулях 7,8,9, а должно быть $K < 56$. Тоже противоречие.

Значит, единственный согласованный вариант:

• лжёт первый абориген,
• ключ $K = 45$.

---

3. Что с ответом $K = 10$?

С учётом этих чисел:

• ни одна из четырёх пар $(r_i,n_i)$ при $K=10$ не соответствует равенству $r_i = K \bmod n_i$;
• следовательно, при $K=10$ лгут все четверо, что противоречит условию «один всегда лжёт» + остальные дают верные остатки.

Скорее всего:

• либо в условии, которое тебе дали, какая-то опечатка (в одном из остатков или модулей),
• либо в сборнике/ключе к задаче неверно указан ответ $K=10$, а правильный — $K=45$ и лжец первый.

Если хочешь, можешь прислать фото/скан условия из учебника — могу посмотреть, нет ли там отличий в числах, при которых действительно получится $K=10$.