Сколько существует чисел, делящихся на 99999, в де...

Question

Сколько существует чисел, делящихся на 99999, в десятичной записи которых каждая из цифр встречается ровно по одному разу?

Thought

Calculating pandigital divisibility

The user asks how many 10-digit pandigital numbers (using each digit 0-9 exactly once) are divisible by 99999. 99999 factors as 9 * 41 * 271. The number is automatically divisible by 9, as the sum of digits (45) is a multiple of 9. Now, we need to check divisibility by 41 and 271, avoiding leading zeros.

Considering divisibility rules

For divisibility by 99999, we can divide the number into two 5-digit chunks, A and B. The sum A + B must be a multiple of 99999, such as 99999, 199998, etc. However, A and B are 5-digit numbers, and A cannot have leading zeros, since the first digit of N cannot be zero.

Refining divisibility conditions

For the number A, leading zeros aren't allowed as it starts with a nonzero digit. A must be between 10000 and 98765. For B, leading zeros are possible, and the value can range from 0 to 99999. The sum A + B must equal 99999, as other possibilities (like 199998) are too large.

Analyzing digit sums and carries

For the sum A + B to equal 99999, we need to consider how each digit of A and B adds up, including potential carries. Starting with the units digit, e + j must equal 9 or 19, with possibly a carry to the tens place. We’ll need to analyze similar carries between all digit positions moving leftward.

Determining valid digit pairs

To ensure A + B = 99999, the digits must pairwise complement each other to 9 (e.g., (0,9), (1,8), etc.). The sum at each position must be exactly 9, with no carries. This creates 2^4 = 16 possible orientations for the pairs, and the order of pairs can be permuted in 5! ways, but with the restriction that the first digit can't be a 0.

Thought for 33s

Answer

Ответ: 3456.

Короткое обоснование:

Пусть число $N$ (10-значное, все цифры 0–9 по разу) записано как $N=\overline{abcde\,fghij}=10^5\cdot A+B$ , где $A=\overline{abcde}$ , $B=\overline{fghij}$ .
Делимость на $99999=10^5-1$ эквивалентна $A+B\equiv 0\pmod{10^5-1}$ , то есть $A+B=99999$ (поскольку $A,B\le 98765$ ).
Сумма двух цифр не превосходит $9+8=17$ , значит при сложении по разрядам переносов быть не может; следовательно, в каждой колонке суммы цифр дают 9. Пары цифр, стоящие напротив, — это ровно $(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$ .
Считаем числа: выбираем порядок пар по 5 позициям — $5!$ $5!$ способов; для каждой позиции выбираем, какая из двух цифр пары идёт в первую половину (к $A$ $A$ ) — обычно $2$ $2$ варианта, кроме старшего разряда: там цифра $0$ $0$ стоять не может.
- Если в старшем разряде пара $(0,9)$ : ориентация в этом разряде фиксирована (только $9$ сверху), остальные 4 позиции дают $2^4$ вариантов: всего $4!\cdot 2^4=24\cdot16=384$ .
- Если в старшем разряде другая пара (таких размещений $5!-4!=96$ ): ориентаций $2^5=32$ . Итого $96\cdot32=3072$ .
Общая сумма: $384+3072=3456$ .

Значит, таких чисел 3456.