logoChat01.ai

Последовательность целых чисел {xn} такова, что x1...

Created on: October 14, 2025

Answered using GPT-5 by Chat01

Question

Последовательность целых чисел {xn} такова, что x1 = 1100 и xn+1 = |xn - 6| для всех
n > 1. Найдите такое минимальное п, что In+2 = In.

Thought

Evaluating sequence pattern

The sequence starts with x1=1100, and the recurrence x_{n+1}=|x_n - 6| eventually enters a range between 0 and 6. The task asks for the smallest n such that x_{n+2}=x_n (i.e., the sequence becomes periodic with a period of 2). I’ll simulate the steps manually: subtracting 6 repeatedly until the sequence enters the range from 0 to 5, starting from 1100, with a mod 6 calculation.

Verifying the sequence

Alright, I computed the sequence. After subtracting 6 repeatedly, I reached x_{184} = 2, and found that x_{185} = 4, followed by a pattern alternating between 2 and 4. The first time x_{n+2}=x_n occurs is at n=184, when the cycle starts. So, the minimal n is 184.

Thought for 15s

Answer

Ответ: n=184n=184.

Пояснение. Пока xn≥6x_n \ge 6, имеем xn+1=xn−6x_{n+1}=x_n-6, значит xn+2=xn−12≠xnx_{n+2}=x_n-12\neq x_n — равенство xn+2=xnx_{n+2}=x_n здесь невозможно.

Дойдём до остатка по модулю 6: 1100≡2(mod6)1100\equiv 2\pmod 6. Значит после 183183 вычитаний шестерки получим

x184=1100−183⋅6=2<6.x_{184}=1100-183\cdot 6=2<6.

Дальше:

x185=∣2−6∣=4,x186=∣4−6∣=2,x_{185}=|2-6|=4,\qquad x_{186}=|4-6|=2,

то есть начался 2-цикл 2,4,2,4,…2,4,2,4,\ldots, и уже x184+2=x184x_{184+2}=x_{184}.

Следовательно, минимальное nn, для которого xn+2=xnx_{n+2}=x_n, равно 184184.

Question

На праздновании Нового года 46 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один
из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок
одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого
уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок,
обмен подарками заканчивается.
Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
Число
Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
Число

Thought

Solving gift-giving problem

The problem involves 46 students in a circle. Each minute, a student who hasn't given or received gifts selects one of the two nearest students to their left and gives them a gift. The goal is to find the minimum and maximum number of students who could receive gifts, given that each student gives only once and receiving gifts can happen multiple times.

Maximizing and minimizing gift receivers

The process ends when everyone has either given or received at least one gift. The donors are always "fresh" (have not given or received before) and can only give once, but they may receive gifts later. The goal is to find the maximum and minimum number of distinct recipients, considering that there are 46 students. The number of minutes corresponds to the number of unique donors.

Finding extremes of recipients

The process stops when all 46 students are "covered" — either having given or received a gift. A donor is fresh and gives to one of two left neighbors. The goal is to find the maximum and minimum number of distinct recipients by the end. We need to consider how this directed process leads to recipients each step.

Clarifying donation process

The process is like choosing an ordering of donors to ensure all students are covered by either giving or receiving a gift. Donors are distinct, meaning each can give only once. Once someone has received a gift, they can't donate later. The aim is to find the extremes for the number of recipients.

Maximizing recipients

To maximize recipients, we aim to let as many distinct people as possible become recipients before they donate. A recipient could later become a donor, but only fresh donors can give. The process stops when everyone is "covered," so we end up with as many recipients as possible at the moment coverage is complete.

Maximizing recipients (45)

To maximize recipients, we aim for all but one participant to receive at least once. We achieve this by strategically selecting fresh donors who haven’t received yet. By ensuring donations continue, and each fresh donor gives to a left neighbor, we can end with 45 recipients, with one person skipped from receiving.

Thought for 3m 46s

Answer

Максимум: 45
Минимум: 23

Коротко почему.

  • Максимум 45. Постройте процесс так: первый ученик дарит ближайшему слева. Далее каждый следующий «свежий» ученик дарит своему левому соседу, который только что дарил. Тогда после первого шага каждый новый шаг «закрывает» только дарителя, а получателем становится предыдущий даритель. В итоге все дарители (кроме последнего) тоже получают подарок, плюс первый получатель — всего 45 получателей; последний оставшийся «свежий» лишь дарит и не успевает получить.

  • Минимум 23. Делайте так, чтобы каждый раз подарок получал еще не участвовавший сосед: например, 1→46, 3→2, 5→4, … (через одного по кругу). Каждый шаг закрывает сразу двоих новых участников, процесс заканчивается за 23 шага, и получателей ровно 23.

Share this Q&A