В супервекторном процессоре «Машук» имеется n разл...

Question

В супервекторном процессоре «Машук» имеется n различных видов регистров: однобайтовые,
двухбайтовые, ... n-байтовые. Соответственно, имеется 2·n целочисленных типов данных — знаковый
и беззнаковый 8n-разрядный.
Числа в беззнаковом типе данных представляют собой остатки от деления на 2
8n
, в знаковом типе
числа от 0 до 2
8n−1 − 1 представляются так же, как и в беззнаковом, а любое число x от −2
8n−1 до
−1 представляется так же, как беззнаковое число 2
8n + x.
В языке B++ реализованы все целочисленные типы данных, при этом контроль типов полностью
отсутствует, а присваивание происходит с переполнением, то есть если присваиваемая константа
не помещается в тип данных, то соответствующее количество старших байтов отбрасывается, а
младшие копируются в нужный тип. Например, если мы присваиваем переменной x значение 257,
а переменная имеет однобайтовый беззнаковый тип, то после присваивания значение x становится
равно 1.
Если нам неизвестен тип переменной (а в B++ такое случается), можно попытаться присвоить
переменной какое-то число, прочитать то, что в неё записалось и на основании этого определить
тип данных.
Назовём детектором целое неотрицательное число, которое при таком действии позволяет
однозначно определить тип переменной. Ваша задача — по заданному n вывести шестнадцатеричное
представление наименьшего детектора для заданного n.
Input
Входные данные содержат одно целое число n — количество видов регистров (1 ≤ n ≤ 104
).
Output
Выведите шестнадцатеричное представление наименьшего детектора без ведущих нулей. Цифры,
большие 9, обозначайте строчными латинскими буквами от ‘A’ до ‘F’.

Thought

Understanding the problem

I need to understand how the Russian Supervector processor Mashuk handles its various data types: 1-byte, 2-byte, etc. There are signed and unsigned versions of each, and they represent numbers in different ways (two's complement for signed). Overflow happens if a number doesn’t fit, with bytes dropping. So, determining types can be done through a nonnegative integer that uniquely identifies the type.

Breaking down the task

The goal is to compute a minimal nonnegative value that lets us identify one of the 2n types in its hexadecimal form. The text mentions that digits greater than 9 should be represented by lowercase Latin letters from ‘a’ to ‘f’. I'll stick with lowercase, since it's more consistent with the usual interpretation. The value is likely read as an integer, and it must distinguish between the types—this will help identify the correct data type by the stored value.

Considering the approach

To determine the type uniquely, the stored value must be unique across all 2n types. We observe this stored value as an integer, and while the number of bytes could be relevant, it seems we should focus on the value itself instead, since truncation might affect how it's read (based on size and signedness). The stored bit pattern depends on these factors, and the value is interpreted as an unsigned integer when needed.

Ensuring uniqueness in interpretations

To make sure each interpretation (for both signed and unsigned values) is unique across all 2n types, the value needs to be distinct based on the size and signedness. The idea is to design a value D such that its truncations yield unique results for different sizes. I’m thinking D might work as a sum of powers of 2: 1 + 256 + 256² + ...

Evaluating minimal D

To ensure uniqueness in interpretations, I’m aiming for a minimal value D where each size ensures distinct signed/unsigned differences. After considering the requirements, I think setting each byte to 0x80 for all sizes provides uniqueness between signed and unsigned values. This works for both smaller individual values and larger types. Let's test with small n; for n=1, D=0x80 gives distinct signed and unsigned values as expected.

Thought for 2m 20s

Answer

Коротко: минимальный детектор — это число, у которого в младших $n$ байтах стоят старшие биты, а всё остальное нули. То есть каждый из этих $n$ байтов равен 0x80.

Почему работает:

При усечении до $s$ байт получаем шаблон из $s$ байтов 0x80…80.
Для беззнакового типа значение $U_s$ неотрицательно и строго растёт с $s$ , значит все $U_s$ различны.
Для знакового типа старший бит в каждом усечении равен 1, поэтому $S_s = U_s - 2^{8s}<0$ . Все $S_s$ тоже различны и не могут совпасть ни с одним неотрицательным $U_t$ .

Меньше сделать нельзя: если хоть для одного $s$ старший байт усечения $<0x80$ , то для размера $s$ знаковая и беззнаковая интерпретации совпадут — тип не различим.

Итого, ответ — шестнадцатеричное число из $n$ повторов 80 без ведущих нулей.

Вывод: строка 80 повторённая $n$ раз.