logoChat01.ai

используя критерий раусса-гурвица найти область ус...

Created on: September 9, 2025

Answered using GPT-5 by Chat01

Question

используя критерий раусса-гурвица найти область устойчивости характеристического полинома в плоскости параметров (a, b): (1-a)z^4 + z^3 + a(z^2 + z + 1) = 0 в нашем вузе когда мы применяем критерий раусса-гурвица мы имеем ввиду что все корни лежат в левой полуплоскости когда все главные миноры матрица раусса-гурвица положительны

Python

python
import sympy as sp
a=sp.symbols('a', real=True)
b1=1/(1-a)
b2=a/(1-a)
b3=a/(1-a)
b4=a/(1-a)
cond1 = sp.And(b1>0,b2>0,b3>0,b4>0)
ineq2 = sp.simplify(b1*b2 - b3)
ineq3 = sp.simplify(b1*b2*b3 - (b1**2)*b4 - b3**2)
ineq2, ineq3


(a**2/(a - 1)**2, a*(-a*(a - 1) - a + 1)/(a - 1)**3)

Python

python
a=sp.symbols('a', real=True)
a0 = 1-a
a1 = 1
a2 = a
a3 = a
a4 = a
Δ1 = a1
Δ2 = sp.Matrix([[a1,a3],[a0,a2]]).det()
Δ3 = sp.Matrix([[a1,a3,0],[a0,a2,a4],[0,a1,a3]]).det()
Δ4 = sp.Matrix([[a1,a3,0,0],
                [a0,a2,a4,0],
                [0,a1,a3,0],
                [0,a0,a2,a4]]).det()
Δ1, sp.simplify(Δ2), sp.simplify(Δ3), sp.simplify(Δ4)


(1, a**2, a**3 - a, a**4 - a**2)

Python

python
import numpy as np
def is_stable(a):
    if abs(1-a) < 1e-9:
        return False
    coeff=[1-a,1,a,a,a]
    roots=np.roots(coeff)
    return np.all(np.real(roots)<-1e-8)
vals=[]
for A in np.linspace(-3,3,121):
    if is_stable(A):
        vals.append(A)
vals[:10], vals[-10:], len(vals)


([], [], 0)

Python

python
vals=[]
for A in np.linspace(-100,100,401):
    if is_stable(A):
        vals.append(A)
len(vals)


0

Thought

Verifying Hurwitz stability conditions

The polynomial seems like it might never be Hurwitz stable, given the conflicts in determinants. If a0>0, then a<1. But Δ4 also requires |a| > 1, which leads to contradictions. For a > 1, a0 would be negative, which violates Hurwitz's conditions, even after multiplying by -1 to adjust signs.

Testing stability for a > 1

To enforce a0 > 0, we multiply the polynomial by -1 if necessary. This would flip the signs of the minors. However, after scanning up to a = 100, no stable values were found, so there's no feasible (a, b) pair for stability. The stability set in the (a, b)-plane is empty. I’ll present this reasoning clearly.

Analyzing Hurwitz stability

I’ve worked through the Hurwitz conditions for the given polynomial:

  1. a < 1.
  2. a ≠ 0.
  3. The determinant conditions give either a > 1 or -1<a<0 for stability, but combining these with the earlier conditions leads to a contradiction.

Therefore, the polynomial can’t be Hurwitz stable, as no value of a satisfies the stability criteria.

Thought for 1m 51s

Answer

Короткий ответ: область устойчивости пуста — ни при каких значениях aa (и любом bb) все корни не лежат в левой полуплоскости.

Разбор по Рауcсу–Гурвицу для

(1−a)s4+s3+as2+as+a=0(1-a)s^4+s^3+a s^2+a s+a=0

(переписал z→sz\to s).

Коэффициенты: a0=1−a, a1=1, a2=a, a3=a, a4=aa_0=1-a,\ a_1=1,\ a_2=a,\ a_3=a,\ a_4=a.

Главные миноры матрицы Гурвица (для четвёртой степени):

Δ1=a1=1,Δ2=∣a1a3a0a2∣=a2,\Delta_1=a_1=1, \quad \Delta_2=\begin{vmatrix}a_1&a_3\\ a_0&a_2\end{vmatrix} = a^2, Δ3=∣a1a30a0a2a40a1a3∣=a3−a=a(a2−1),\Delta_3= \begin{vmatrix} a_1&a_3&0\\ a_0&a_2&a_4\\ 0&a_1&a_3 \end{vmatrix} = a^3-a = a(a^2-1), Δ4=∣a1a300a0a2a400a1a300a0a2a4∣=a4−a2=a2(a2−1).\Delta_4= \begin{vmatrix} a_1&a_3&0&0\\ a_0&a_2&a_4&0\\ 0&a_1&a_3&0\\ 0&a_0&a_2&a_4 \end{vmatrix} = a^4-a^2 = a^2(a^2-1).

Условие устойчивости (все корни в левой полуплоскости) требует:

a0>0, Δ1>0, Δ2>0, Δ3>0, Δ4>0.a_0>0,\ \Delta_1>0,\ \Delta_2>0,\ \Delta_3>0,\ \Delta_4>0.

Это даёт систему:

  1. 1−a>0⇒a<11-a>0 \Rightarrow a<1;
  2. Δ2=a2>0⇒a≠0\Delta_2=a^2>0 \Rightarrow a\neq 0;
  3. Δ3=a(a2−1)>0⇒a>1 или −1<a<0\Delta_3=a(a^2-1)>0 \Rightarrow a>1\ \text{или}\ -1<a<0;
  4. Δ4=a2(a2−1)>0⇒∣a∣>1⇒a>1 или a<−1.\Delta_4=a^2(a^2-1)>0 \Rightarrow |a|>1 \Rightarrow a>1\ \text{или}\ a<-1.

Совместим с a<1a<1 только случай a<−1a<-1, но при a<−1a<-1 имеем Δ3=a(a2−1)<0\Delta_3=a(a^2-1)<0 — противоречие. Следовательно, система условий невыполнима: устойчивых aa нет (при любом bb).

Замечание: в самом полиноме параметр bb не фигурирует, так что «область на плоскости (a,b)(a,b)» — пустое множество (вся «зависимость» от bb отсутствует).

Share this Q&A