λυσε την ασκηση

Ακολουθεί η λύση της άσκησης από τη φωτογραφία:

---

📌 Δοσμένα:

Η θέση ενός σωματιδίου που κινείται στο επίπεδο $XY$ δίνεται από το διάνυσμα:

$$\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}$$

με:

• $x(t) = at + b$
• $y(t) = ct^2 + d$

Και δίνονται οι τιμές:

• $a = 1\, \text{m/s}$
• $b = 1\, \text{m}$
• $c = 1\, \text{m/s}^2$
• $d = -1\, \text{m}$

---

(α) Μέση ταχύτητα από 2s έως 3s (Μονάδα 1)

Η μέση ταχύτητα ορίζεται ως:

$$\vec{v}_{\text{μ}} = \frac{\vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)}{t_2 - t_1}$$

όπου $t_1 = 2s$, $t_2 = 3s$

Υπολογισμός $\vec{r}(2)$:

$$x(2) = a \cdot 2 + b = 1 \cdot 2 + 1 = 3\, \text{m}$$ $$y(2) = c \cdot (2)^2 + d = 1 \cdot 4 - 1 = 3\, \text{m}$$ $$\vec{r}(2) = 3\hat{i} + 3\hat{j}$$

Υπολογισμός $\vec{r}(3)$:

$$x(3) = a \cdot 3 + b = 3 + 1 = 4\, \text{m}$$ $$y(3) = c \cdot (3)^2 + d = 9 - 1 = 8\, \text{m}$$ $$\vec{r}(3) = 4\hat{i} + 8\hat{j}$$

Υπολογισμός μέσης ταχύτητας:

$$\vec{v}_{\text{μ}} = \frac{(4\hat{i} + 8\hat{j}) - (3\hat{i} + 3\hat{j})}{1} = (1\hat{i} + 5\hat{j})\, \text{m/s}$$

---

(β) Θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση τη χρονική στιγμή $t = 1s$ (Μονάδες 1.5)

Θέση:

$$x(1) = 1 \cdot 1 + 1 = 2\, \text{m}$$ $$y(1) = 1 \cdot (1)^2 - 1 = 0\, \text{m}$$ $$\vec{r}(1) = 2\hat{i} + 0\hat{j}$$

---

Ταχύτητα:

$$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = a = 1\, \text{m/s}$$ $$v_y(t) = \frac{dy}{dt} = 2ct = 2 \cdot 1 \cdot t = 2t \Rightarrow v_y(1) = 2\, \text{m/s}$$ $$\vec{v}(1) = 1\hat{i} + 2\hat{j}\, \text{m/s}$$

---

Επιτάχυνση:

$$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0\, \text{m/s}^2 \quad (\text{σταθερό})$$ $$a_y = \frac{d^2y}{dt^2} = 2c = 2\, \text{m/s}^2$$ $$\vec{a}(1) = 0\hat{i} + 2\hat{j}\, \text{m/s}^2$$

---

✅ Τελικές Απαντήσεις

• (α) Μέση ταχύτητα:

  $$\vec{v}_\text{μ} = 1\hat{i} + 5\hat{j}\, \text{m/s}$$

• (β) Στη χρονική στιγμή $t = 1s$:

  • Θέση: $\vec{r}(1) = 2\hat{i} + 0\hat{j}$
  • Ταχύτητα: $\vec{v}(1) = 1\hat{i} + 2\hat{j} \, \text{m/s}$
  • Επιτάχυνση: $\vec{a}(1) = 0\hat{i} + 2\hat{j} \, \text{m/s}^2$

Αν θες να συνεχίσουμε με το επόμενο θέμα (Θέμα 4 που φαίνεται μερικώς στη φωτογραφία), στείλε μου ολόκληρη την άσκηση.