logoChat01.ai

В клетки таблицы 3 на 6 записаны числа 1, 2,...9, ...

Created on: August 26, 2025

Answered using GPT-5 Thinking by Chat01

Question

В клетки таблицы 3 на 6 записаны числа 1, 2,...9, каждое число по два раза. Будем называть таблицу хорошей, если в каждой строчке все числа различны, и в первых трёх столбцах встречаются все числа от 1 до 9 .
Пусть N - это количество хороших таблиц. Найдите степень вхождения 3 в N.

Question

В клетки таблицы 3 на 6 записаны числа 1, 2,...9, каждое число по два раза. Будем называть таблицу хорошей, если в каждой строчке все числа различны, и в первых трёх столбцах встречаются все числа от 1 до 9 .
Пусть N - это количество хороших таблиц. Найдите степень вхождения 3 в N.

Thought

Breaking down a combinatorics problem

The user mentions a 3x6 table where the numbers 1 to 9 each appear twice across 18 cells. The question asks if the table is "good" by ensuring that each row has distinct numbers and that the first three columns together form a 3x3 block where each number from 1 to 9 appears exactly once.

Understanding the puzzle constraints

So, for the first three columns, each number 1 to 9 appears once, and for the last three columns, a copy of each number also appears exactly once. This ensures the 3x3 format. About the rows—each row must have 6 distinct numbers, which leads to some tricky conditions about the layout of numbers in the blocks.

Clarifying counting method

The numbers appear twice, meaning a number could show up in both the left and right halves of the same row, but no duplicates are allowed within a row. This means the right half cannot reuse numbers from the left. I think I need to count the number of valid table arrangements and compute the 3-adic valuation to find the exponent of 3 in its prime factorization. The first part of the approach involves arranging the first 3 columns using Latin squares, I guess.

Clarifying left block arrangement

I misunderstood for a moment — I actually don't need extra row constraints for the left half, other than ensuring that numbers within each row remain distinct. Since each number in the 3x3 block is unique across all 9 cells, it guarantees that the left half rows have distinct entries.

Breaking down the placement constraints

In the right half, I need to place the remaining numbers while keeping each row distinct from the left half. This means ensuring no number appears twice in the same row. I'll approach this as a constraint satisfaction problem where I assign numbers to rows on both sides, ensuring they match the rules. Essentially, it's a Latin-square-like arrangement with specific row and column constraints.

Calculating feasible matrix assignments

This is about counting valid assignments based on the constraints of row and column sums. I essentially solve linear systems to ensure the correct distribution of counts between rows and columns. By finding four feasible matrices and calculating multinomial values, the total number of assignments sums to 56.

Computing 3-adic valuation

The task involves calculating a large number of potential arrangements. After considering the constraints, we compute the 3-adic valuation of N by analyzing the factorial values and compositions. The total valuation comes out to be 7. However, the total number of possibilities turns out to be very large, estimated at around 4.4e9, which is a lot to handle computationally.

Thought for 3m 6s

Answer

Ответ: 77.

Коротко почему.

  1. В первых трёх столбцах стоят все числа 1,…,91,\dots,9 по одному разу — это просто перестановка 9 чисел по 9 клеткам: 9!9! способов.

  2. Во вторых трёх столбцах снова должны стоять все 1,…,91,\dots,9 по одному разу, причём в каждой строке нельзя повторять числа из её левой половины. Эквивалентно: каждое из 9 чисел, стоящее слева в строке i∈{1,2,3}i\in\{1,2,3\} (по 3 числа в каждой строке), справа должно пойти в одну из двух других строк. Обозначим через aija_{ij} число таких переносов из строки ii в строку jj (i≠j)(i\ne j). Тогда

ai2+ai3=3,a2j+a3j=3,a_{i2}+a_{i3}=3,\quad a_{2j}+a_{3j}=3,

и aii=0a_{ii}=0. Решения задаются одним параметром k=a12∈{0,1,2,3}k=a_{12}\in\{0,1,2,3\}:

строка 1: (0,k,3−k),строка 2: (3−k,0,k),строка 3: (k,3−k,0).\begin{aligned} &\text{строка 1: }(0,k,3-k),\\ &\text{строка 2: }(3-k,0,k),\\ &\text{строка 3: }(k,3-k,0). \end{aligned}

Для фиксированного kk число разметок по конкретным числам равно

(3!k!(3−k)!)3=(3k)3.\Bigl(\tfrac{3!}{k!(3-k)!}\Bigr)^3=\binom{3}{k}^3.

Итого

S=∑k=03(3k)3=1+27+27+1=56,S=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}^3=1+27+27+1=56,

и размещение внутри трёх правых столбцов даёт дополнительный множитель (3!)3(3!)^3 (перестановки в каждой строке).

Следовательно,

N=9!⋅S⋅(3!)3=9!⋅56⋅(3!)3.N=9!\cdot S\cdot (3!)^3=9!\cdot 56\cdot (3!)^3.

Степень тройки:

ν3(N)=ν3(9!)+ν3(56)+3 ν3(3!)=(3+1)+0+3⋅1=7.\nu_3(N)=\nu_3(9!)+\nu_3(56)+3\,\nu_3(3!)=(3+1)+0+3\cdot 1=7.

Итак, 7\boxed{7}.

Share this Q&A