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出一道只有WBT（重量平衡树，如ScapegoatTree）能做的高难度数据结构算法题目

Created on: July 29, 2025

Answered using O3 by Chat01

Question

出一道只有WBT（重量平衡树，如ScapegoatTree）能做的高难度数据结构算法题目

Thought

Crafting the problem statement

I see that the user has requested a challenging algorithm problem where only a Weighted Balanced Tree (WBT) can solve it, especially considering memory constraints. They're asking for a problem where memory limitations are strictly enforced, and only WBTs pass these limitations.

I’ll create a problem titled "Memory-Restricted Order-Statistics Simulation". It will include operations like insertions, deletions, order statistics, and interval count, with clear constraints on memory usage. I’ll also provide example inputs, outputs, and hints without fully detailing the editorial, assuring the user it's challenging.

Specifying the problem

Here’s the problem’s design. We have Q operations:

  • Insert x
  • Erase x
  • Output k-th smallest
  • Count elements between l and r

The challenge is that the time complexity of each operation should be O(log n), and the total memory used must not exceed 256MiB. A scapegoat tree (WBT), which uses no extra memory per node, would be the only appropriate solution because a traditional balanced tree type would consume too much memory, particularly due to the additional storage for colors, priorities, or other metadata.

Thought for 2m 40s

Answer

题目名称

《极限内存的在线多重集》

题目描述

小 A 正在一台仅有 256 MiB 内存的嵌入式设备上实现一个在线多重集。
你需要编写程序，在完全在线的情况下，按顺序处理不超过

1 ≤ Q ≤ 10 000 000

条操作，操作共有四种：

指令含义保证条件
I x向集合插入整数 x（若已存在不重复插入）‑10^9 ≤ x ≤ 10^9
R x从集合删除整数 x（若不存在忽略）同上
K k询问当前集合的第 k 小元素并输出`1 ≤ k ≤ 
C a b统计区间 [a,b] 内元素个数并输出‑10^9 ≤ a ≤ b ≤ 10^9

要求：

  • 时间：每条操作均需在 O(log n) （n 为当前集合大小）的 最坏 时间内完成。
  • 内存：总可用内存严格限于 256 MiB（含代码和栈）。
  • 并发输出：仅 K 与 C 指令产生输出，各占一行。

输入格式

text
Q
op1 [arg...]
op2 [arg...]
…
opQ [arg...]

输出格式

对应每一条 K、C 指令，各输出一行结果。

样例

输入输出
```text
10
I 5
I 1
I 9
K 2
C 2 8
R 5
K 2
I 7
C -1 10
K 3
``````text
5
1
7
2
text

---

#### 数据范围 & 陷阱说明  

1. **节点存储限制**  
   - 判题机采用 64 bit 指针，常规二叉搜索树节点包含  
     `key (4B) + left ptr(8B) + right ptr(8B) = 20B`  
     对齐后为 **24 B**。  
   - 在 10 000 000 次最坏序列下，节点最多 10 000 000 个，仅节点就需  
     `24 B × 10 000 000 ≈ 228 MiB`。  
   - 任何 **额外的每节点字段**（例如 AVL 的高度、RB 的颜色、Treap 的优先级等）  
     都会把节点体积推高到 **32 B** 甚至更多，瞬间突破 256 MiB 上限。  

2. **算法限制**  
   - 你 **不得依赖随机化或期望复杂度**；所有操作须有严格最坏界。  
   - 由于内存极限，**无法在节点中再存任何额外字节**；  
     这使传统 AVL / 红黑树 / Treap / Splay 在本题下全部「爆内存」或「爆时间」。  

---

#### 解题思路（仅供评测人参考，不会出现在正式题面）

| 难点 | 解决方案 |
|------|----------|
| 不允许存额外平衡信息 | 采用 **重量平衡树 WBT / ScapegoatTree**：节点仅存左右指针和关键字，平衡信息通过 **全局计数 + 局部重建** 得到，完全符合内存约束。 |
| 保证最坏 *O(log n)* 查找 | WBT 保证高度 ≤  log_{1/α} n（α≈3/4），从而查找最坏 *O(log n)*；插删摊还 *O(log n)*。 |
| 计数与第 k 小 | 在重建时用中序拷贝构建完美平衡树，同时可在栈上临时计算子树大小来做有序统计，也能在节点塞下 1 bit 标记压缩子树大小，但仍不会超内存。 |

> **为何“只有”WBT 能过？**  
> *Scapegoat/Weight‑Balanced Tree* 的经典实现 **不需要在节点里存任何附加冗余信息**，仍能保证严格对数高度；而其他主流平衡 BST 至少要存 1 bit（RB）、1 byte (颜色+填充) 或 1 int（AVL 高度），在本题规模与 256 MiB 上限下都无解。  
> 公开资料也明确指出 Scapegoat Tree 的这一优势：  
> * “A scapegoat tree … **does not need to store any additional information in the nodes, other than the key, value, and left and right child pointers.**” ([University of Maryland Computer Science](https://www.cs.umd.edu/class/fall2020/cmsc420-0201/Lects/lect12-scapegoat.pdf))  
> * “Scapegoat trees, **unlike most balanced‑tree schemes, do not require keeping extra data** … Each node in the tree contains only a key value and pointers to its two children.” ([people.csail.mit.edu](https://people.csail.mit.edu/rivest/pubs/GR93.pdf))  

---

#### 出题人提示  

* `α` 建议取 `3/4`；实现时维护 `n` 与 `max_n` 即可。  
* 重建时用栈收集指针列表再递归二分建树，可避免额外数组。  
* 若语言仅提供 64 bit 指针，可将节点放在连续数组里，用整型索引代替指针以再省 ~30 %。  

祝各位选手 **内存与算法的双重极限** 之旅好运！

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