如何利用幂级数的和函数求常数项级数的和

下面给出一种常见套路：把“常数项” CT(·) 看成一个线性算子，与求和号交换，再把幂级数的部分收敛成一个封闭式（往往是一个有理函数），最后再做一次常数项提取（可以用留数、待定系数或已知公式）即可。
整套步骤用符号写成

$$\sum_{n\ge 0}\mathrm{CT}\bigl[F_n(x)\bigr]\;z^{\,n} \;=\; \mathrm{CT}\!\Bigl[\, \sum_{n\ge 0}F_n(x)\,z^{\,n} \Bigr] \;=\; \mathrm{CT}\!\Bigl[\,G(x,z)\Bigr],$$

其中 $G(x,z)=\sum_{n\ge 0}F_n(x)\,z^{\,n}$ 是你要先“求和”的幂级数。下面分步展开，并配三个典型例子。

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1 常数项算子与求和号对调

线性算子 CT 满足

$$\mathrm{CT}[a\,f(x)+b\,g(x)]=a\,\mathrm{CT}[f(x)]+b\,\mathrm{CT}[g(x)],$$

因此

$$\sum_{n}\mathrm{CT}[F_n(x)]z^{\,n} =\mathrm{CT}\!\Bigl[\sum_{n}F_n(x)z^{\,n}\Bigr].$$

只要交换后右侧收敛即可（实用中常在 $|zB(x)|<1$ 的环域内讨论）。

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2 把 $\sum_{n}F_n(x)z^n$ 收敛成封闭式

最常见的 $F_n(x)=A(x)B(x)^n$。
此时

$$\sum_{n\ge0}A(x)\bigl(zB(x)\bigr)^{n} =\frac{A(x)}{1-zB(x)}\qquad(|zB(x)|<1).$$

如果 $F_n(x)$ 里还带有 $\binom{n}{k}$、$n^r$ 等，可以用

• 微分或积分变换 $(z\partial_z)^r$，
• 升降阶恒等式（如 $\binom{n}{k}=\mathrm{CT}\bigl[(1+x)^{n}(x^{-k})\bigr]$），
  把它们转回“几何级数”形态，再求和。

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3 对有理函数取常数项

得到的 $G(x,z)$ 通常是 $x$ 的有理函数。常数项有三种常用做法：

1. 留数公式

   $$\mathrm{CT}[f(x)] = \frac1{2\pi i}\oint_{|x|=\rho}\frac{f(x)}{x}\,dx,$$

   选取环内的极点求留数即可。

2. 拆部分分式 / 已知模板
   对简单形如 $\frac{x^{m}}{(1-ax)(1-b/x)}$ 的表达式，可以直接展开或查表。

3. 对称/反演技巧
   若 $f(x)=f(1/x)$，常数项往往等于系数和的一半；
   或者写成 $\mathrm{CT}[f(x)]=[x^0]f(x)=\frac12([x^0]+[x^0]_{x\mapsto1/x})$ 等。

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4 三个示例

例 1　中心二项式级数

$$S(t)=\sum_{n\ge0}\binom{2n}{n}\,t^{n}.$$

将 $\binom{2n}{n}$ 写成常数项：

$$\binom{2n}{n} =[x^0]\,(1+x)^{2n} =\mathrm{CT}\bigl[(1+x)^{2n}\bigr].$$

故

$$S(t)=\mathrm{CT}\!\Bigl[\sum_{n\ge0}(1+x)^{2n}t^n\Bigr] =\mathrm{CT}\!\Bigl[\frac1{1-t(1+x)^{2}}\Bigr] =\mathrm{CT}\!\Bigl[\frac1{1-t(1+2x+x^{2})}\Bigr].$$

拆分后取常数项得到

$$S(t)=\frac1{\sqrt{1-4t}},$$

这是熟知的生成函数。
检验：$t=\tfrac14$ 时 $S=\tfrac1{\sqrt{1-1}}=\infty$（发散），而 $t=\tfrac1{16}$ 时 $S=2$。

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例 2　斐波那契“常数项”级数

求 $\displaystyle\sum_{n\ge0}\mathrm{CT}\!\bigl[(1+x)^{n}(1+x^{-1})^{n}\bigr]z^{n}$。

先写 (\mathrm{CT}\bigl[(1+x)^n(1+x^{-1})^n\bigr] =x^0^n(1+x^{-1})^n). 令 $B(x)=\frac{(1+x)(1+x^{-1})}{1}$; 则

$$S(z)=\mathrm{CT}\!\Bigl[\sum_{n\ge0}\bigl(zB(x)\bigr)^n\Bigr] =\mathrm{CT}\!\Bigl[\frac1{1-z(2+x+x^{-1})}\Bigr].$$

记 $u=x+\frac1x$，则被积式变成 $\frac1{1-2z-zu}$。
对 $u$ 做留数即可得

$$S(z)=\frac1{\sqrt{1-4z^2}},$$

其展开系数为中央二项式 $\binom{2n}{n}$，说明两种形式暗中相同。

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例 3　含因子 $(2n+1)^{-1}$ 的级数

经典恒等式

$$\sum_{n\ge0}\frac{\binom{2n}{n}}{2n+1} = \pi.$$

思路：把 $\frac1{2n+1}$ 视为 $\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2n}\,dx$，先将它和 $\binom{2n}{n}$ 一起写成 CT，然后交换求和与积分，就得到

$$\int_{0}^{1}\mathrm{CT}\!\Bigl[\frac1{1-x^2(1+x)^2}\Bigr]dx$$

—— 这是一个对 $x$ 的初等积分，计算可得 $\pi$。

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结论与技巧小结

1. 写成常数项 → 与求和号对调：

   $$\sum_{n}\mathrm{CT}[F_n]z^n=\mathrm{CT}\bigl[\sum_{n}F_n z^n\bigr].$$

2. 把 $\sum_{n}F_n z^n$ 收敛：常见是几何级数，也可借助微分/积分变换处理附加的 $n,\,\binom{n}{k}$。

3. 再做一次常数项提取：用留数、拆分、对称、反演等方法。

4. 检查收敛半径：常数项交换与收敛合法性通常要求 $|zB(x)|<1$；若只求解析延拓后的表达式，则可先形式操作，最后再讨论解析延拓。

掌握以上套路后，见到“常数项在外、求和在内”的级数，只要能把中间那步几何级数搞定，就往往能一把求出闭式。