logoChat01.ai

Вычислите сумму $$S = \textrm{cos} \varphi + a\tex...

Created on: May 19, 2025

Answered using O3 by Chat01

Question

Вычислите сумму
S=cosφ+acos2φ+a2cos3φ +...+an−1cosnφS = \textrm{cos} \varphi + a\textrm{cos} 2\varphi + a^2\textrm{cos} 3\varphi  + ... + a^{n-1}\textrm{cos} n\varphi. 

Python

python
import numpy as np, math
def sum_formula(r, theta, n):
    return (r*np.sin(n*theta) - r**(n+1)*np.sin((n+1)*theta) + 0.0)/ (1 - 2*r*np.cos(theta) + r**2)
def direct(r, theta, n):
    return sum(r**k * np.cos((k+1)*theta) for k in range(n))
for r in [0.3, 0.8]:
    for theta in [0.5,1.2]:
        for n in [1,2,3,5]:
            print(r, theta, n, direct(r,theta,n), sum_formula(r,theta,n))

Python

python
def formula(r,theta,n):
    return (math.cos(theta) - r - r**n*math.cos((n+1)*theta) + r**(n+1)*math.cos(n*theta)) / (1 - 2*r*math.cos(theta) + r**2)
for r in [0.3,0.8]:
    for theta in [0.5,1.2]:
        for n in [1,2,3,5]:
            print(r,theta,n, direct(r,theta,n), formula(r,theta,n))

Python

python
def sum_rk_cos(r, theta, n):
    return sum((r**k)* math.cos((k)*theta) for k in range(1,n+1))
def formula2(r,theta,n):
    return ( r* math.sin(n*theta)* math.cos(theta) - r**(n+1)* math.sin(theta) ) / ( 1 - 2*r* math.cos(theta) + r**2)
for r in [0.3,0.8]:
    for theta in [0.5,1.2]:
        for n in [1,2,3,5]:
            print(r,theta,n, sum_rk_cos(r,theta,n), formula2(r,theta,n))

Python

python
r, theta, n = sp.symbols('r theta n', positive=True)
k=sp.symbols('k', integer=True, positive=True)
expr = sp.summation(r**(k-1)* sp.cos(k*theta), (k,1,n))
expr_simplified = sp.simplify(expr)
expr_simplified

Sum(r**k*cos(k*theta), (k, 1, n))/r

Python

python
expr5=sp.summation(r**(k-1)* sp.cos(k*theta), (k,1,5))
sp.simplify(expr5)

r**4*cos(5*theta) + r**3*cos(4*theta) + r**2*cos(3*theta) + r*cos(2*theta) + cos(theta)

Thought

Deriving formula for T

I want to compute the expression for T (or S) using symbolic methods to get a neat formula. SymPy isn’t quite helping, so I decide to go for a complex number approach. I'll calculate it as:

S=Re[eiθ(1−(reiθ)n)1−reiθ],r=aS = \text{Re} \left[ \frac{e^{i \theta} (1 - (r e^{i \theta})^n)}{1 - r e^{i \theta}} \right],\quad r=a

Then, I can multiply the numerator and denominator by the conjugate to simplify things, resulting in an expression involving cosines. After checking, it looks correct. I’ll also try the alternative formula with sines to double-check.

Thought for 1m 37s

Answer

Пусть

z=a eiφ  (a∈R).z=a\,e^{i\varphi}\qquad\;(a\in\mathbb{R}).

Тогда

cos⁡kφ=ℜ(eikφ)=ℜ((eiφ)k),\cos k\varphi=\Re\bigl(e^{ik\varphi}\bigr)=\Re\bigl((e^{i\varphi})^{k}\bigr),

и исходная сумма

S=∑k=1na k−1cos⁡kφ=ℜ ⁣[∑k=1n(aeiφ)ka]=1a ℜ ⁣[∑k=1nz k].S=\sum_{k=1}^{n}a^{\,k-1}\cos k\varphi =\Re\!\left[\sum_{k=1}^{n}\frac{(ae^{i\varphi})^{k}}{a}\right] =\frac1a\,\Re\!\left[\sum_{k=1}^{n}z^{\,k}\right].

Геометрическая прогрессия

∑k=1nz k=z 1−z n1−z(z≠1),\sum_{k=1}^{n}z^{\,k}=z\,\frac{1-z^{\,n}}{1-z}\qquad(z\neq1),

поэтому

S=ℜ ⁣[eiφ(1−z n)1−z]=ℜ ⁣[eiφ−anei(n+1)φ1−aeiφ].S=\Re\!\left[\frac{e^{i\varphi}\bigl(1-z^{\,n}\bigr)}{1-z}\right] =\Re\!\left[\frac{e^{i\varphi}-a^{n}e^{i(n+1)\varphi}} {1-ae^{i\varphi}}\right].

Рационализация знаменателя

Умножив числитель и знаменатель на 1−ae−iφ1-ae^{-i\varphi} и используя e±iφ=cos⁡φ±isin⁡φe^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\sin\varphi, получаем полностью вещественный результат

  S=cos⁡φ−a−a ncos⁡ ⁣((n+1)φ)+a n+1cos⁡(nφ)1−2acos⁡φ+a2  .\boxed{\; S=\frac{\displaystyle \cos\varphi-a -a^{\,n}\cos\!\bigl((n+1)\varphi\bigr) +a^{\,n+1}\cos(n\varphi)} {1-2a\cos\varphi+a^{2}}\;} .

Особые случаи

  • a=1,  φ≡0(mod2π)a=1,\;\varphi\equiv0\pmod{2\pi}.
    Знаменатель обращается в 0, но тогда каждое слагаемое равно 1, и S=nS=n.

  • a≠1,  z=1a\neq1,\;z=1 не выполняется.
    Формула выше применима напрямую.

Эта компактная дробь-формула является ответом; при необходимости можно выразить её также через синусы и полиномы Чебышёва, но вид, приведённый в рамке, уже даёт готовое численное значение для любых a,φ,na,\varphi,n.

Share this Q&A