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计算斗地主中出现王炸的概率（至少有一人有王炸的概率） 不考虑叫地主，也就是规定某一个人为地主，其他都...

Created on: May 16, 2025

Answered using O3 by Chat01

Question

计算斗地主中出现王炸的概率（至少有一人有王炸的概率）
不考虑叫地主，也就是规定某一个人为地主，其他都是农民

Python

python
import math
from math import comb
p_landlord = comb(52,18)/comb(54,20)
p_farmer = comb(52,15)/comb(54,17)
p_total = p_landlord + 2*p_farmer
p_landlord, p_farmer, p_total

(0.13277428371767994, 0.09503843466107617, 0.32285115303983225)

Python

python
from fractions import Fraction
p_landlord_frac = Fraction(comb(52,18), comb(54,20)).limit_denominator()
p_farmer_frac = Fraction(comb(52,15), comb(54,17)).limit_denominator()
p_total_frac = Fraction(p_total).limit_denominator()
p_landlord_frac, p_farmer_frac, p_total_frac

(Fraction(190, 1431), Fraction(136, 1431), Fraction(154, 477))

Python

python
p_landlord_frac_exact = Fraction(comb(52,18), comb(54,20))
p_farmer_frac_exact = Fraction(comb(52,15), comb(54,17))
p_total_frac_exact = p_landlord_frac_exact + 2*p_farmer_frac_exact
p_landlord_frac_exact, p_farmer_frac_exact, p_total_frac_exact

(Fraction(190, 1431), Fraction(136, 1431), Fraction(154, 477))

Thought

Final probability and explanation

I’m calculating the probability that the landlord holds both jokers, using combinatorics. The probability is C(52,18) / C(54,20), resulting in a final value of approximately 13.28%. The complementary probability that no one gets both jokers is also computed, but this isn’t strictly necessary for the explanation. The task requires presenting the entire strategy in Chinese, so I'll articulate the derivation of the probability for the landlord and include the overall context in that language.

Thought for 43 seconds

Answer

思路

  • 斗地主一副牌 54 张（含大小王）。
  • 发牌后：预先指定的地主拿 20 张，其余两名农民各 17 张。
  • “王炸” = 两张大小王同时在同一玩家手里。3 名玩家手牌数量不同，所以要分别计算他们拿到王炸的概率，再求并集（因为两张牌不可能落到两个人手里，事件互斥，可直接相加）。

1 地主拿到王炸

地主手牌数 = 20。

任选 20 张牌，其中必含大小王，再从剩余 52 张普通牌里挑 18 张即可。

P地主=(5218)(5420)=1901431≈0.1328  (约 13.28%)P_{\text{地主}}=\frac{\binom{52}{18}}{\binom{54}{20}} =\frac{190}{1431}\approx 0.1328 \;(\text{约 }13.28\%)

2 某一名农民拿到王炸

任取一名农民（手牌 17 张）：

P单个农民=(5215)(5417)=1361431≈0.0950  (约 9.50%)P_{\text{单个农民}}=\frac{\binom{52}{15}}{\binom{54}{17}} =\frac{136}{1431}\approx 0.0950 \;(\text{约 }9.50\%)

两名农民对称、互斥，因此

P任一农民=2×0.0950=0.1901P_{\text{任一农民}}=2\times 0.0950 = 0.1901

3 至少有一人拥有王炸

P至少一人王炸=P地主+P任一农民=1901431+2⋅1361431=154477≈0.3226\begin{aligned} P_{\text{至少一人王炸}} &=P_{\text{地主}}+P_{\text{任一农民}} \\ &=\frac{190}{1431}+2\cdot\frac{136}{1431} =\frac{154}{477}\approx 0.3226 \end{aligned}

答案

  • 精确值： 154477\displaystyle\frac{154}{477}
  • 百分数： ≈32.26%\displaystyle\approx 32.26\%

换句话说，在随机发完牌（地主 20 张、两农民各 17 张）的前提下，有约 三分之一 的概率会出现至少一副“王炸”。

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