Подробно опиши процесс вейвлет разложения изображе...

Процесс вейвлет-разложения (wavelet decomposition) изображения обычно сводится к многократному применению двумерного вейвлет-преобразования к исходному изображению, разделяя его на «приближение» (грубую компоненту) и «детали» (высокочастотные компоненты). Ниже даётся поэтапное объяснение, как это происходит на нескольких уровнях:

1. Основная идея одномерного вейвлет-преобразования

Для понимания двумерного вейвлет-разложения сначала рассмотрим принцип работы на одном измерении — для одномерного сигнала (например, последовательности чисел).

Фильтрация
- Сигнал пропускается через два фильтра:
  - Низкочастотный фильтр (Low-Pass Filter, L)
  - Высокочастотный фильтр (High-Pass Filter, H)
- Результат применения низкочастотного фильтра даёт грубое приближение сигнала (Approximation),
  а результат высокочастотного фильтра даёт детали (Detail).
Децимация (downsampling)
- После фильтрации каждый из полученных сигналов, как правило, прореживается в 2 раза (берут, к примеру, каждый второй отсчёт).
- В итоге после одного шага мы получаем два набора коэффициентов: «Приближение» и «Детали».
Рекурсивный процесс
- К «приближению» (низкочастотной части) можно снова применить аналогичную операцию фильтрации и децимации, чтобы выделять более грубую компоненту и её детали.
- Таким образом, мы переходим к следующему уровню разложения.

2. Переход к двумерному случаю

Для изображения (двумерного массива) DWT (дискретное вейвлет-преобразование) чаще всего реализуется через построчную и постолбцовую фильтрацию:

Применение фильтров по строкам
- Каждую строку изображения пропускают через пару фильтров (L и H).
- В результате каждая строка даёт два набора коэффициентов: низкочастотный (L) и высокочастотный (H).
- Затем выполняется децимация: из каждого набора оставляют лишь половину отсчётов.
- В итоге для каждой строки мы получаем два «подизображения»: одно состоит из L-коэффициентов (условно можно назвать его $I_L$ ), другое из H-коэффициентов ( $I_H$ ).
Применение фильтров по столбцам
- Далее аналогичные действия выполняются со столбцами уже полученных подизображений $I_L$ и $I_H$ .
- Для каждого такого подизображения результат даст ещё два набора: L- и H-компоненты по столбцам.
Формирование четырёх поддиапазонов
- После обработки столбцов подизображения $I_L$ $I_{L}$ (низкочастотного по строкам) мы получаем:
  1. LL – низкочастотный по строкам и низкочастотный по столбцам (приближение изображения).
  2. LH – низкочастотный по строкам, высокочастотный по столбцам (горизонтальные детали).
- Аналогично подизображение $I_H$ (высокочастотное по строкам) даёт: 3. HL – высокочастотный по строкам, низкочастотный по столбцам (вертикальные детали).
  4. HH – высокочастотный по строкам и столбцам (диагональные детали).

Таким образом, после одного уровня вейвлет-разложения мы имеем четыре поддиапазона (четыре суб-изображения): $LL$ , $LH$ , $HL$ и $HH$ .

3. Многократное разложение (несколько уровней)

Чтобы выполнить разложение на несколько уровней, к очередному уровню применяют тот же алгоритм, но только к поддиапазону $LL$ (так как именно он содержит более «грубую» часть изображения). Процесс выглядит так:

Первый уровень:
- Получаем $LL_1, LH_1, HL_1, HH_1$ .
Второй уровень:
- К $LL_1$ снова применяем 2D-вейвлет-преобразование.
- Результат даёт: $LL_2, LH_2, HL_2, HH_2$ .
- Детали первого уровня ( $LH_1, HL_1, HH_1$ ) при этом остаются как есть.
Третий уровень:
- Аналогично, к $LL_2$ снова применяют операцию и получают $LL_3, LH_3, HL_3, HH_3$ и т. д.
- Чем больше уровней, тем грубее становится новый $LL$ -компонент, и тем больше “масштабов” (деталей) мы восстанавливаем из набора (LH, HL, HH) на каждом предыдущем уровне.

В итоге после $n$ -го уровня разложения мы будем иметь иерархию из множества суб-изображений: самое низкочастотное $LL_n$ и множества детализационных компонентов $(LH_k, HL_k, HH_k)$ для каждого уровня $k=1,\dots,n$ .

4. Практический смысл и применение

Сжатие (compression):
Вейвлет-разложение лежит в основе многих алгоритмов сжатия (например, JPEG 2000). Высокочастотные компоненты (детали) часто могут быть закодированы с меньшей точностью, поскольку они менее критичны для восприятия, тогда как низкочастотное подизображение (LL) передаётся с большей точностью.
Шумоподавление (denoising):
Высокочастотные компоненты могут содержать много шумовых составляющих. Обрезая (или усредняя) определённые коэффициенты в $LH, HL, HH$ -поддиапазонах, можно удалять шум, сохраняя значимую информацию.
Восстановление (reconstruction):
Обратное вейвлет-преобразование позволяет из набора поддиапазонов (LL, LH, HL, HH) на всех уровнях восстановить исходное изображение. Это важно для без потерь или контролируемого сжатия.
Анализ текстур и масштабов:
Различные поддиапазоны (LH, HL, HH) содержат информацию о текстуре и деталях на разных масштабах. Это удобно в компьютерном зрении, методах распознавания образов и т. п.

5. Краткая сводка процесса на примере нескольких уровней

Шаг 1 (первое разложение):
- Исходное изображение $I$ .
- Применить 2D-вейвлет: $I \xrightarrow{\text{wavelet}} \{LL_1, LH_1, HL_1, HH_1\}.$
Шаг 2 (разложение приближения с предыдущего шага):
- Берём $LL_1$ .
- Применяем к нему 2D-вейвлет: $LL_1 \xrightarrow{\text{wavelet}} \{LL_2, LH_2, HL_2, HH_2\}.$
- Детали первого уровня ( $LH_1, HL_1, HH_1$ ) остаются неизменными.
Шаг 3 и так далее, до нужного числа уровней:
- Каждый раз разлагается $LL_{k-1}$ , получаем $LL_k, LH_k, HL_k, HH_k$ .

Чем больше уровней, тем грубее становится $LL_n$ , и тем больше мы получаем наборов «деталей» (LH, HL, HH) разных масштабов.

Важно помнить

Для разных типов вейвлетов (Haar, Daubechies, Symlet, Coiflet и т. д.) меняется способ фильтрации (формы импульсных характеристик фильтров), что влияет на качество сжатия, степень сохранения резких краёв и прочие характеристики.
В случае цифрового изображения обычно применяют дискретное вейвлет-преобразование, где фильтры и операции децимации являются ключевым элементом.
Существует также непрерывное и станционарное вейвлет-преобразование (undecimated wavelet transform) без децимации, но его чаще используют в анализе, а не в сжатии.

Таким образом, многократное (иерархическое) вейвлет-разложение изображения позволяет шаг за шагом выделять компоненты на разных масштабах, сохраняя при этом возможность обратно собрать исходное изображение из полученных поддиапазонов.

Подробно опиши процесс вейвлет разложения изображе...

Question

Thought

Answer