Найдите разность потенциалов между точками А и С, ...

Ниже приведён один из возможных способов решения (с учётом того, что по рисунку «верхний» источник $\varepsilon,2r$ оказывается включён «против» трёх остальных).

---

1. Определение направления тока и ЭДС в контуре

Если посмотреть на суммарную ЭДС по часовой стрелке (например, вдоль контура $A\to B\to C\to D\to A$), то оказывается, что три из источников (на ветвях $AB$, $BC$ и $DA$) включены «в одну сторону», а верхний источник $\varepsilon,\,2r$ («$DC$») — в противоположную. При этом:

• От $A$ к $B$ стоит источник $3\varepsilon$ с внутренним сопротивлением $4r$.
• От $B$ к $C$ — источник $4\varepsilon$ с $3r$ и внешний резистор $R$.
• От $C$ к $D$ — противоположно включённый источник $\varepsilon$ с $2r$.
• От $D$ к $A$ — источник $2\varepsilon$ с $r$ и внешний резистор $2R$.

Складывая ЭДС «по часовой стрелке», получаем

$$3\varepsilon \;+\; 4\varepsilon \;-\;\varepsilon \;+\; 2\varepsilon \;=\; 8\varepsilon.$$

Суммарное внутреннее сопротивление равно

$$(4r) + (3r) + (2r) + (\,r\,)\;=\;10r,$$

а внешние резисторы дают ещё $R + 2R=3R$. Следовательно, ток во всём замкнутом контуре есть

$$I \;=\;\frac{8\varepsilon}{\,10r \;+\;3R\,}.$$

---

2. Потенциалы узлов и искомые разности

Для удобства положим $V(A)=0$. Тогда, обходя контур по часовой стрелке:

1. Узел $B$ (переход $A\to B$):
   Источник $3\varepsilon,\,4r$ включён «по ходу» тока, значит

   $$V(B)-V(A)\;=\;3\varepsilon \;-\;I\,(4r)\;\;\Longrightarrow\;\; V(B)\;=\;3\varepsilon \;-\;I\,4r.$$

2. Узел $C$ (переход $B\to C$):
   Здесь источник $4\varepsilon,\,3r$ и резистор $R$ тоже «по ходу» тока:

   $$V(C)-V(B)\;=\;4\varepsilon \;-\;I\,(3r+R),$$

   откуда

   $$V(C)\;=\;V(B)\;+\;4\varepsilon \;-\;I\,(3r+R) \;=\;\bigl[\,3\varepsilon -I\,4r\,\bigr]\;+\;4\varepsilon \;-\;I\,(3r+R).$$

   Итого

   $$V(C)\;=\;7\varepsilon \;-\;I\,(\,7r+R\,).$$

3. Узел $D$ (переход $C\to D$):
   Верхний источник $\varepsilon,\,2r$ включён против хода тока, значит при движении $C\to D$ получаем «падение»

   $$V(D)-V(C)\;=\;-\varepsilon \;-\;I\,(2r).$$

   Отсюда

   $$V(D)\;=\;V(C)\;-\;\varepsilon \;-\;I\,(2r).$$

4. Возврат $D\to A$:
   Источник $2\varepsilon,\,r$ и резистор $2R$ «по ходу», так что

   $$V(A)-V(D)\;=\;2\varepsilon \;-\;I\,\bigl(r+2R\bigr).$$

   Но $V(A)=0$, откуда можно при желании выразить $V(D)$.

Однако для искомых $V(A)-V(C)$ и $V(B)-V(D)$ удобнее воспользоваться уже найденными узловыми значениями.

---

2.1. Разность $V(A)-V(C)$

Из предыдущих формул

$$V(C)\;=\;7\varepsilon \;-\;I\,(7r+R),$$

при $V(A)=0$ получаем

$$V(A)-V(C)\;=\;-\Bigl[\;7\varepsilon \;-\;I\,(7r+R)\Bigr] \;=\;-\,7\varepsilon\;+\;I\,(7r+R).$$

Подставляя $I=\dfrac{8\varepsilon}{\,10r+3R\,},$ нетрудно упростить выражение и прийти к окончательной форме

$$\boxed{\,V(A)-V(C)\;=\;-\,\frac{\varepsilon\,\bigl(14\,r+13\,R\bigr)} {\,10\,r+3\,R\,}\,.}$$

Знак «минус» здесь говорит о том, что при выбранном $V(A)=0$ точка $C$ фактически оказывается на более высоком потенциале (если $r,R>0$).

---

2.2. Разность $V(B)-V(D)$

• Уже знаем $V(B)=3\varepsilon - I\,4r$.
• Найдём $V(D)$ через переход $B\to C\to D$. Сначала $B\to C$: $$V(C)=V(B)+4\varepsilon - I\,(3r+R),$$ затем $C\to D$ (противоположно включённая $\varepsilon,2r$): $$V(D)=V(C)\;-\;\varepsilon \;-\;I\,(2r).$$ Сложив, получаем $$V(D)\;=\;V(B)\;+\;\bigl[\,4\varepsilon -I\,(3r+R)\bigr]\;-\;\varepsilon \;-\;I\,(2r)\;=\; V(B)\;+\;3\varepsilon\;-\;I\,(5r+R).$$ Отсюда $$V(B)-V(D)\;=\;-\,3\varepsilon \;+\;I\,(5r+R).$$ Подстановка $I= \dfrac{8\varepsilon}{10r+3R}$ даёт

$$\boxed{\,V(B)-V(D)\;=\;\frac{\varepsilon\,\bigl(10\,r - R\bigr)}{\,10\,r+3\,R\,}\,.}$$

---

3. Итоговый ответ

Таким образом, разности потенциалов между указанными точками (в смысле $V(A)-V(C)$ и $V(B)-V(D)$) равны:

$$\boxed{ V(A)-V(C)\;=\;-\;\frac{\varepsilon\,\bigl(14\,r+13\,R\bigr)} {10\,r+3\,R}, \quad V(B)-V(D)\;=\;\frac{\varepsilon\,\bigl(10\,r - R\bigr)}{\,10\,r+3\,R\,}. }$$

Заметьте, что первое выражение может оказаться отрицательным (точка $C$ выше $A$ по потенциалу), а второе — положительным или отрицательным в зависимости от того, каково соотношение $R$ и $10r$. Но именно эти формулы дают правильные «арифметические» значения искомых разностей.