Найдите разность потенциалов между точками А и С, ...

Created on: April 15, 2025

Answered using O1 by Chat01

Question

IMG_9038.jpegIMG_9038.jpeg

Найдите разность потенциалов между точками А и С, В и D в цепи, схема которой изображена на рисунке 2.70.

Thought

Reasoned about electrical potential difference for 3m 34s

Answer

Ниже приведён один из возможных способов решения (с учётом того, что по рисунку «верхний» источник ε,2r \varepsilon,2r оказывается включён «против» трёх остальных).


1. Определение направления тока и ЭДС в контуре

Если посмотреть на суммарную ЭДС по часовой стрелке (например, вдоль контура ABCDAA\to B\to C\to D\to A), то оказывается, что три из источников (на ветвях ABAB, BCBC и DADA) включены «в одну сторону», а верхний источник ε,2r\varepsilon,\,2rDCDC») — в противоположную. При этом:

  • От AA к BB стоит источник 3ε3\varepsilon с внутренним сопротивлением 4r4r.
  • От BB к CC — источник 4ε4\varepsilon с 3r3r и внешний резистор RR.
  • От CC к DDпротивоположно включённый источник ε\varepsilon с 2r2r.
  • От DD к AA — источник 2ε2\varepsilon с rr и внешний резистор 2R2R.

Складывая ЭДС «по часовой стрелке», получаем

3ε  +  4ε    ε  +  2ε  =  8ε.3\varepsilon \;+\; 4\varepsilon \;-\;\varepsilon \;+\; 2\varepsilon \;=\; 8\varepsilon.

Суммарное внутреннее сопротивление равно

(4r)+(3r)+(2r)+(r)  =  10r,(4r) + (3r) + (2r) + (\,r\,)\;=\;10r,

а внешние резисторы дают ещё R+2R=3RR + 2R=3R. Следовательно, ток во всём замкнутом контуре есть

I  =  8ε10r  +  3R.I \;=\;\frac{8\varepsilon}{\,10r \;+\;3R\,}.

2. Потенциалы узлов и искомые разности

Для удобства положим V(A)=0V(A)=0. Тогда, обходя контур по часовой стрелке:

  1. Узел BB (переход ABA\to B):
    Источник 3ε,4r3\varepsilon,\,4r включён «по ходу» тока, значит

    V(B)V(A)  =  3ε    I(4r)        V(B)  =  3ε    I4r.V(B)-V(A)\;=\;3\varepsilon \;-\;I\,(4r)\;\;\Longrightarrow\;\; V(B)\;=\;3\varepsilon \;-\;I\,4r.
  2. Узел CC (переход BCB\to C):
    Здесь источник 4ε,3r4\varepsilon,\,3r и резистор RR тоже «по ходу» тока:

    V(C)V(B)  =  4ε    I(3r+R),V(C)-V(B)\;=\;4\varepsilon \;-\;I\,(3r+R),

    откуда

    V(C)  =  V(B)  +  4ε    I(3r+R)  =  [3εI4r]  +  4ε    I(3r+R).V(C)\;=\;V(B)\;+\;4\varepsilon \;-\;I\,(3r+R) \;=\;\bigl[\,3\varepsilon -I\,4r\,\bigr]\;+\;4\varepsilon \;-\;I\,(3r+R).

    Итого

    V(C)  =  7ε    I(7r+R).V(C)\;=\;7\varepsilon \;-\;I\,(\,7r+R\,).
  3. Узел DD (переход CDC\to D):
    Верхний источник ε,2r\varepsilon,\,2r включён против хода тока, значит при движении CDC\to D получаем «падение»

    V(D)V(C)  =  ε    I(2r).V(D)-V(C)\;=\;-\varepsilon \;-\;I\,(2r).

    Отсюда

    V(D)  =  V(C)    ε    I(2r).V(D)\;=\;V(C)\;-\;\varepsilon \;-\;I\,(2r).
  4. Возврат DAD\to A:
    Источник 2ε,r2\varepsilon,\,r и резистор 2R2R «по ходу», так что

    V(A)V(D)  =  2ε    I(r+2R).V(A)-V(D)\;=\;2\varepsilon \;-\;I\,\bigl(r+2R\bigr).

    Но V(A)=0V(A)=0, откуда можно при желании выразить V(D)V(D).

Однако для искомых V(A)V(C)V(A)-V(C) и V(B)V(D)V(B)-V(D) удобнее воспользоваться уже найденными узловыми значениями.


2.1. Разность V(A)V(C)V(A)-V(C)

Из предыдущих формул

V(C)  =  7ε    I(7r+R),V(C)\;=\;7\varepsilon \;-\;I\,(7r+R),

при V(A)=0V(A)=0 получаем

V(A)V(C)  =  [  7ε    I(7r+R)]  =  7ε  +  I(7r+R).V(A)-V(C)\;=\;-\Bigl[\;7\varepsilon \;-\;I\,(7r+R)\Bigr] \;=\;-\,7\varepsilon\;+\;I\,(7r+R).

Подставляя I=8ε10r+3R,I=\dfrac{8\varepsilon}{\,10r+3R\,}, нетрудно упростить выражение и прийти к окончательной форме

V(A)V(C)  =  ε(14r+13R)10r+3R.\boxed{\,V(A)-V(C)\;=\;-\,\frac{\varepsilon\,\bigl(14\,r+13\,R\bigr)} {\,10\,r+3\,R\,}\,.}

Знак «минус» здесь говорит о том, что при выбранном V(A)=0V(A)=0 точка CC фактически оказывается на более высоком потенциале (если r,R>0r,R>0).


2.2. Разность V(B)V(D)V(B)-V(D)

  • Уже знаем V(B)=3εI4rV(B)=3\varepsilon - I\,4r.
  • Найдём V(D)V(D) через переход BCDB\to C\to D. Сначала BCB\to C: V(C)=V(B)+4εI(3r+R),V(C)=V(B)+4\varepsilon - I\,(3r+R), затем CDC\to D (противоположно включённая ε,2r\varepsilon,2r): V(D)=V(C)    ε    I(2r).V(D)=V(C)\;-\;\varepsilon \;-\;I\,(2r). Сложив, получаем V(D)  =  V(B)  +  [4εI(3r+R)]    ε    I(2r)  =  V(B)  +  3ε    I(5r+R).V(D)\;=\;V(B)\;+\;\bigl[\,4\varepsilon -I\,(3r+R)\bigr]\;-\;\varepsilon \;-\;I\,(2r)\;=\; V(B)\;+\;3\varepsilon\;-\;I\,(5r+R). Отсюда V(B)V(D)  =  3ε  +  I(5r+R).V(B)-V(D)\;=\;-\,3\varepsilon \;+\;I\,(5r+R). Подстановка I=8ε10r+3RI= \dfrac{8\varepsilon}{10r+3R} даёт
V(B)V(D)  =  ε(10rR)10r+3R.\boxed{\,V(B)-V(D)\;=\;\frac{\varepsilon\,\bigl(10\,r - R\bigr)}{\,10\,r+3\,R\,}\,.}

3. Итоговый ответ

Таким образом, разности потенциалов между указанными точками (в смысле V(A)V(C)V(A)-V(C) и V(B)V(D)V(B)-V(D)) равны:

V(A)V(C)  =    ε(14r+13R)10r+3R,V(B)V(D)  =  ε(10rR)10r+3R.\boxed{ V(A)-V(C)\;=\;-\;\frac{\varepsilon\,\bigl(14\,r+13\,R\bigr)} {10\,r+3\,R}, \quad V(B)-V(D)\;=\;\frac{\varepsilon\,\bigl(10\,r - R\bigr)}{\,10\,r+3\,R\,}. }

Заметьте, что первое выражение может оказаться отрицательным (точка CC выше AA по потенциалу), а второе — положительным или отрицательным в зависимости от того, каково соотношение RR и 10r10r. Но именно эти формулы дают правильные «арифметические» значения искомых разностей.

Share this Q&A