Ниже приведён один из возможных способов решения (с учётом того, что по рисунку «верхний» источник ε,2r оказывается включён «против» трёх остальных).
1. Определение направления тока и ЭДС в контуре
Если посмотреть на суммарную ЭДС по часовой стрелке (например, вдоль контура A→B→C→D→A), то оказывается, что три из источников (на ветвях AB, BC и DA) включены «в одну сторону», а верхний источник ε,2r («DC») — в противоположную. При этом:
- От A к B стоит источник 3ε с внутренним сопротивлением 4r.
- От B к C — источник 4ε с 3r и внешний резистор R.
- От C к D — противоположно включённый источник ε с 2r.
- От D к A — источник 2ε с r и внешний резистор 2R.
Складывая ЭДС «по часовой стрелке», получаем
3ε+4ε−ε+2ε=8ε.
Суммарное внутреннее сопротивление равно
(4r)+(3r)+(2r)+(r)=10r,
а внешние резисторы дают ещё R+2R=3R. Следовательно, ток во всём замкнутом контуре есть
I=10r+3R8ε.
2. Потенциалы узлов и искомые разности
Для удобства положим V(A)=0. Тогда, обходя контур по часовой стрелке:
-
Узел B (переход A→B):
Источник 3ε,4r включён «по ходу» тока, значит
V(B)−V(A)=3ε−I(4r)⟹V(B)=3ε−I4r.
-
Узел C (переход B→C):
Здесь источник 4ε,3r и резистор R тоже «по ходу» тока:
V(C)−V(B)=4ε−I(3r+R),
откуда
V(C)=V(B)+4ε−I(3r+R)=[3ε−I4r]+4ε−I(3r+R).
Итого
V(C)=7ε−I(7r+R).
-
Узел D (переход C→D):
Верхний источник ε,2r включён против хода тока, значит при движении C→D получаем «падение»
V(D)−V(C)=−ε−I(2r).
Отсюда
V(D)=V(C)−ε−I(2r).
-
Возврат D→A:
Источник 2ε,r и резистор 2R «по ходу», так что
V(A)−V(D)=2ε−I(r+2R).
Но V(A)=0, откуда можно при желании выразить V(D).
Однако для искомых V(A)−V(C) и V(B)−V(D) удобнее воспользоваться уже найденными узловыми значениями.
2.1. Разность V(A)−V(C)
Из предыдущих формул
V(C)=7ε−I(7r+R),
при V(A)=0 получаем
V(A)−V(C)=−[7ε−I(7r+R)]=−7ε+I(7r+R).
Подставляя I=10r+3R8ε, нетрудно упростить выражение и прийти к окончательной форме
V(A)−V(C)=−10r+3Rε(14r+13R).
Знак «минус» здесь говорит о том, что при выбранном V(A)=0 точка C фактически оказывается на более высоком потенциале (если r,R>0).
2.2. Разность V(B)−V(D)
- Уже знаем V(B)=3ε−I4r.
- Найдём V(D) через переход B→C→D. Сначала B→C:
V(C)=V(B)+4ε−I(3r+R),
затем C→D (противоположно включённая ε,2r):
V(D)=V(C)−ε−I(2r).
Сложив, получаем
V(D)=V(B)+[4ε−I(3r+R)]−ε−I(2r)=V(B)+3ε−I(5r+R).
Отсюда
V(B)−V(D)=−3ε+I(5r+R).
Подстановка I=10r+3R8ε даёт
V(B)−V(D)=10r+3Rε(10r−R).
3. Итоговый ответ
Таким образом, разности потенциалов между указанными точками (в смысле V(A)−V(C) и V(B)−V(D)) равны:
V(A)−V(C)=−10r+3Rε(14r+13R),V(B)−V(D)=10r+3Rε(10r−R).
Заметьте, что первое выражение может оказаться отрицательным (точка C выше A по потенциалу), а второе — положительным или отрицательным в зависимости от того, каково соотношение R и 10r. Но именно эти формулы дают правильные «арифметические» значения искомых разностей.