زیر مثالی از یک حل گام‌به‌گام (با اعمال تقریب‌های متعارفِ «هسته با نفوذپذیری بسیار بالا» و احتساب فرینجینگ در فاصلهٔ هوایی) به‌همراه کد لاتک ارائه شده است. فرض بر این است که تنها قسمت عمدهٔ رلوکتانس در شکاف هوایی واقع شده و تلفات آهن (با $R_m$) و تلفات سیم‌پیچ (با $R_{\mathrm{coil}}$) در مراحل نهایی وارد معادلات دینامیکی می‌شوند. عددی که در اینجا آورده می‌شود بر اساس داده‌های زیر است (همه بر حسب SI):

• عمق هسته:

$$d = 0.08\:\text{m}.$$

• عرض ستون (و نیز عرض پیستون متحرک):

$$w = 0.10\:\text{m}.$$

• طول اولیهٔ شکاف هوا (وقتی $x = 0$):

$$g = 0.005\:\text{m}.$$

• تعداد دورهای سیم‌پیچ:

$$N = 50.$$

• جریان DC اعمال‌شده:

$$i = 10\:\text{A}.$$

• جرم پیستون:

$$m = 0.02\:\text{kg}\quad (\text{معادل }20\text{ گرم}).$$

• ثابت فنر:

$$k = 500\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{cm}} \;=\; 50{,}000\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}.$$

• نفوذپذیری مغناطیسیِ آزاد ($\mu_0$):

$$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\:\mathrm{H/m}\approx 1.256637\times10^{-6}.$$

• سطح مقطع آهن در ستون مرکزی (بدون فرینجینگ):

$$A_{c} = w \times d = 0.10 \times 0.08 = 0.008\:\text{m}^2.$$

• محیط (پریمتِر) سطح مقطع ستون (برای تقریب فرینجینگ):

$$P = 2(w + d) \;=\; 2(0.10 + 0.08)=0.36\:\mathrm{m}.$$

---

الف) محاسبهٔ اندوکتانس سیم‌پیچ بر حسب متغیر جابجایی $x$

فرض می‌کنیم پیستون بتواند تا سقف $x = g = 0.005\,\mathrm{m}$ به داخل شکاف حرکت کند (در $x=0$، هنوز شکاف $5\:\mathrm{میلی‌متر}$ باز است؛ در $x=g$، شکاف عملاً بسته می‌شود). رلوکتانس عمدتاً در فاصلهٔ هوایی است. به دلیل پدیدهٔ فرینجینگ، مساحت مؤثر شکاف را چنین تقریب می‌کنیم:

$$A_{\mathrm{eff}}(x) \;\approx\; A_{c} \;+\; P\,[g - x],$$

که در آن $\,g - x\,$ طول مؤثر باقیمانده از شکاف است (هرچه پیستون جلوتر برود، این طول کم‌تر می‌شود) و $P$ محیطِ مؤثر برای خمش خطوط شار است. بنابراین:

$$A_{\mathrm{eff}}(x) \;=\; 0.008 \;+\; 0.36\,(0.005 - x) \;=\; 0.0098 \;-\; 0.36\,x.$$

سپس رلوکتانس (Reluctance) شکاف برای هر $x$ می‌شود:

$$\mathcal{R}_{\mathrm{gap}}(x) \;=\; \dfrac{g - x}{ \mu_0\,A_{\mathrm{eff}}(x) } \;=\; \dfrac{0.005 - x}{\,\mu_0\,\bigl[\,0.0098 - 0.36\,x\bigr]}\,.$$

اگر نفوذپذیری هسته را بسیار بزرگ فرض کنیم، رلوکتانس آهن ناچیز بوده و اندوکتانس سیم‌پیچ از رابطهٔ کلاسیک $\displaystyle L = \tfrac{N^{2}}{\mathcal{R}_{\mathrm{tot}}}\approx \tfrac{N^{2}}{\mathcal{R}_{\mathrm{gap}}}$ به‌دست می‌آید. در نتیجه:

$$L(x) \;=\; \dfrac{N^{2}}{\mathcal{R}_{\mathrm{gap}}(x)} \;=\; N^{2}\,\mu_0 \;\dfrac{\,0.0098 \;-\; 0.36\,x\,}{\,0.005 - x\,}.$$

با گذاشتن $\displaystyle N=50$ و $\displaystyle \mu_0=1.256637\times10^{-6}\,\mathrm{H/m},$ داریم

$$N^2\,\mu_0 \;=\; 2500 \,\times\, 1.256637\times10^{-6} \;=\; 3.1415925\times10^{-3} \;\approx\; 0.00314.$$

در نتیجه:

$$L(x) \;\approx\; 0.00314 \;\;\dfrac{\,0.0098 - 0.36\,x\,}{\,0.005 - x\,} \quad(\text{واحد: هانری}).$$

نمونه: در حالت $x=0$ (پیستون وارد نشده)،

$$L(0) \;=\; 0.00314 \times \dfrac{0.0098}{0.005} \;=\; 0.00314 \times 1.96 \;\approx\; 0.00616\,\mathrm{H} \;=\; 6.16\,\mathrm{mH}.$$

---

ب) نیروی وارد بر پیستون متحرک بر حسب $x$

نیروی الکترومغناطیسی در سیستم‌های مغناطیسیِ ایدئال (بدون اشباع و تلفات) را اغلب با فرمولِ $\,\displaystyle F = \tfrac{1}{2}\,I^{2}\,\dfrac{dL}{dx}$ به دست می‌آورند. در این‌جا نیز از همین رابطه بهره می‌بریم:

$$F(x) \;=\; \dfrac{1}{2}\,i^2 \,\dfrac{d}{dx}\,\bigl[L(x)\bigr].$$

با مشتق گرفتن از $L(x)$ (به روش خارج‌قسمت یا ساده‌سازی قبل از مشتق) نتیجه می‌گیریم که:

$$\dfrac{dL}{dx} \;=\; 0.00314 \;\times\; \dfrac{d}{dx} \biggl[ \dfrac{0.0098 - 0.36\,x}{0.005 - x} \biggr] \;=\; 0.00314 \;\times\; \dfrac{\,0.008\,}{\,[\,0.005 - x\,]^{2}} \;=\; 2.512\times10^{-5} \;\dfrac{1}{\,[\,0.005 - x\,]^{2}}.$$

سپس

$$F(x) \;=\; \dfrac{1}{2}\,(10)^{2} \times 2.512\times10^{-5} \;\dfrac{1}{\,[\,0.005 - x\,]^{2}} \;=\; 50 \times 2.512\times10^{-5} \;\dfrac{1}{\,[\,0.005 - x\,]^{2}} \;=\; 1.256\times10^{-3} \;\dfrac{1}{\,[\,0.005 - x\,]^{2}} \quad(\mathrm{N}).$$

اگر $x$ را برحسب متر بگذارید، $F$ برحسب نیوتن خواهد بود. مثلاً در $x=0$:

$$F(0) \;=\; \dfrac{1.256\times10^{-3}}{(0.005)^{2}} \;=\; \dfrac{1.256\times10^{-3}}{25\times10^{-6}} \;\approx\; 50.24\:\mathrm{N}.$$

و هرچه $x$ به $0.005\,\mathrm{m}$ نزدیک شود، نیرو تئوریکاً به بینهایت میل می‌کند (البته در عمل اشباع هسته و سایر موارد این رفتار را محدود می‌کنند).

---

ج) نوشتن معادلات دینامیکی حرکت

1. معادلهٔ مکانیکی
   با صرف‌نظر از اصطکاک و با داشتن فنر با ثابت $k$ و جرم $m$، نیروهای وارد بر پیستون عبارتند از نیروی الکترومغناطیسی $F(x)$ در جهت مثبت و نیروی فنر $k\,x$ در جهت مخالف (اگر مبدأ جابه‌جایی $x=0$ را محل فنرِ شل گرفته باشیم). معادلهٔ نیوتن:

   $$m\,\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} \;=\; F(x) \;-\; k\,x.$$

   که در آن $\,F(x)=\tfrac{1}{2}\,i^2\,\tfrac{dL}{dx}$ مطابق قسمت (ب) است.

2. معادلهٔ الکتریکی
   با توجه به شکل مسأله، مقاومت‌های $R_{\mathrm{coil}}$ و $R_{m}$ (تلفات سیم‌پیچ و تلفات مغناطیسی) در مدار دیده می‌شود. بسته به اینکه $R_{m}$ را سری یا موازی با سیم‌پیچ درنظر گیریم (طبق شکل ظاهراً به صورت موازی مدل شده است)، باید از روابط مدار معادل استفاده کرد. در ساده‌ترین حالت اگر ولتاژ تغذیه $v(t)$ و جریان کل $i(t)$ باشد و فقط یک منبع DC داریم، معادله می‌تواند به‌صورت زیر نوشته شود:

   • اگر هر دو مقاومت در سری با القا نوشته شود (ساده‌ترین مدل):

     $$v(t) \;=\; R_{\mathrm{coil}}\;i(t) \;+\; R_{m}\;i(t) \;+\; \frac{d}{dt} \bigl[\lambda(t)\bigr] \quad,\quad \lambda(t) \;=\; N\,\phi \;=\; L(x)\,i(t)\,N,$$

     که در اینجا تغییرات $x(t)$ نیز در $L\bigl(x(t)\bigr)$ اثر می‌گذارد.

   • اگر $R_{m}$ موازی سیم‌پیچ باشد (مدل دقیق‌تر برای تلفات آهن)، آنگاه باید جریان سیم‌پیچ و جریان عبوری از $R_{m}$ تفکیک شود و ولتاژ دو سر شاخهٔ سلف/مقاومت یکی است. در این صورت دستگاه معادلاتِ مدار کمی مفصل‌تر خواهد شد، ولی ایده همان است که تغییرات شار (و در نتیجه اندوکتانس) با تغییر $x$ در معادلهٔ ولتاژ ظاهر می‌شود.

به این ترتیب یک سیستم دینامیکی شامل معادلهٔ مکانیکی (بالا) و معادلات الکتریکی (بسته به نحوهٔ مدل تلفات) خواهیم داشت. در حالت سادهٔ «جریان ثابت» (DC ایده‌آل با منبع جریان) معادلهٔ الکتریکی حذف شده و فقط معادلهٔ مکانیکی باقی می‌ماند.

---

کد کامل لاتِک یک گزارش نمونه

در ادامه یک نمونه فایل لاتک که همین روابط را قدم‌به‌قدم توضیح می‌دهد آورده شده است. شما می‌توانید برحسب نیاز خود بخش‌های توضیحی را کم یا زیاد کنید.

latex
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}   % برای پشتیبانی از یونیکد
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{setspace}         % برای فاصله خطوط
\usepackage{graphicx}

\hoffset -1cm
\voffset -2cm
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\setstretch{1.3}

\begin{document}

\section*{حل مسئلهٔ هستهٔ مغناطیسی با پیستون متحرک و فنر}

صورت مسئله:
\begin{itemize}
\item عمق هسته: $d = 0.08\,\mathrm{m}$.
\item عرض ستون مرکزی و پیستون: $w = 0.10\,\mathrm{m}$.
\item طول اولیه شکاف: $g = 0.005\,\mathrm{m}$.
\item تعداد دور سیم‌پیچ: $N = 50$.
\item جریان پیوسته: $i = 10\,\mathrm{A}$.
\item جرم پیستون: $m = 0.02\,\mathrm{kg}$.
\item ثابت فنر: $k = 50\,000\,\mathrm{N/m}$.
\item نفوذپذیری آزاد: $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$.
\end{itemize}

\subsection*{(الف) اندوکتانس برحسب $x$}

فرض می‌شود رلوکتانس هسته ناچیز و تمام رلوکتانس در فاصله هوایی که با ورود پیستون کاهش می‌یابد، متمرکز است. 
اثر فرینجینگ را با اضافه‌کردن جمله‌ای متناسب با $(g-x)$ به مساحت مقطع در نظر می‌گیریم. 
مساحت مؤثر:
$$
A_{\mathrm{eff}}(x) \;=\; A_c + P\,(g - x)
$$
که $A_c = w\,d = 0.008\,\mathrm{m}^2$ و محیط مقطع $P = 2(w + d) = 0.36\,\mathrm{m}$.
در نتیجه:
$$
A_{\mathrm{eff}}(x) 
\;=\;
0.008 
\;+\;
0.36\,(0.005 - x)
\;=\;
0.0098 - 0.36\,x.
$$
بنابراین رلوکتانس شکاف:
$$
\mathcal{R}_{\mathrm{gap}}(x)
\;=\;
\dfrac{g - x}{\mu_0\,A_{\mathrm{eff}}(x)}
\;=\;
\dfrac{0.005 - x}{
   \mu_0\,\bigl[\,0.0098 - 0.36\,x\bigr]
}.
$$
اندوکتانس سیم‌پیچ برابر است با
$$
L(x)
\;=\;
\dfrac{N^2}{\mathcal{R}_{\mathrm{gap}}(x)}
\;=\;
N^2\,\mu_0 \;\dfrac{\,0.0098 - 0.36\,x\,}{\,0.005 - x\,}.
$$
عدداً با $N^2\,\mu_0 \approx 0.00314$ داریم
$$
L(x) \;\approx\; 0.00314 \;\dfrac{0.0098 - 0.36\,x}{0.005 - x}\quad(\mathrm{H}).
$$
به‌عنوان نمونه:
$$
L(0) \;\approx\; 6.16\,\mathrm{mH}.
$$

\subsection*{(ب) نیروی الکترومغناطیسی برحسب $x$}

بر اساس رابطه
$$
F(x) \;=\; \tfrac12\,i^2\,\dfrac{dL}{dx},
$$
ابتدا مشتق $L(x)$ را نسبت به $x$ حساب می‌کنیم و سپس در $i=10\,\mathrm{A}$ قرار می‌دهیم:
$$
\dfrac{dL}{dx}
\;=\;
0.00314 \;\times\;
\dfrac{0.008}{\bigl(0.005 - x\bigr)^2}
\;=\;
2.512\times10^{-5}\,\dfrac{1}{\bigl(0.005 - x\bigr)^2}.
$$
پس
$$
F(x)
\;=\;
\dfrac12\,(10)^2
\;\times\;
2.512\times10^{-5}
\;\dfrac{1}{\bigl(0.005 - x\bigr)^2}
\;=\;
1.256\times10^{-3}
\,\dfrac{1}{\bigl(0.005 - x\bigr)^2}
\;\;\mathrm{N}.
$$
در $x=0$ مقدار نیرو تقریباً
\(
50\,\mathrm{N}
\)
به‌دست می‌آید و با نزدیک‌شدن به $x=0.005\,\mathrm{m}$ (بسته‌شدن شکاف) تمایل به بی‌نهایت دارد.

\subsection*{(ج) معادلات دینامیکی}

1. معادله حرکت پیستون (محور $x$):
$$
m\,\dfrac{d^2 x}{dt^2} 
\;+\;
k\,x
\;=\;
F(x)
\;=\;
\dfrac12\,i^2\,\dfrac{dL}{dx}\,.
$$
اگر منبع جریان یا وضعیت مدار طوری باشد که $i$ ثابت بماند، همین معادلهٔ مکانیکی مسئله را توصیف می‌کند.

2. معادله مدار الکتریکی (در صورت نیاز):
با توجه به نحوه قرارگیری مقاومت‌ها (سری یا موازی)، ولتاژ منبع و القا (که به $L(x)$ وابسته است) در یک یا چند معادله دیفرانسیل دیگر ظاهر می‌شود. در ساده‌ترین حالت سری:
$$
v(t) 
\;=\; 
\bigl(R_{\mathrm{coil}} + R_m\bigr)\;i(t)
\;+\;
\dfrac{d}{dt}\bigl[\,L\bigl(x(t)\bigr)\,i(t)\bigr].
$$

\end{document}

---

توضیح نهایی:
در عمل برای پاسخ کاملاً دقیق باید تلفات آهن (با $R_m$) را در مدل موازی با سلف در نظر گرفت و همچنین از اشباع احتمالی هسته صرف‌نظر نکرد. اما برای تمرین‌های دانشگاهی، فرمول‌های بالا پاسخ مرسوم‌اند. در صورت داشتن تغذیهٔ جریان ثابت (مثلاً یک منبع جریان ایده‌آل)، معادلهٔ الکتریکی عملاً حذف می‌شود و تنها معادلهٔ مکانیکی (با نیروی $\tfrac12\,i^2\,\tfrac{dL}{dx}$) حل خواهد شد.